Question

我有一个包含10 ^ 5个元素的数组，其中每个元素都在[0,1023]中。我必须找到一个数组的子集数，使得元素的XOR是Q.（对于Q> 1023，答案是0）。我想出了这个 O（N * 1024）方法

for (int i = 1; i <= n; i++ )
{
    int a = F[i]; 
    for (int j = 0; j < 1024; j++ )
    {
        ways[i][j] = ways[i-1][j] + ways[i-1][j^a];
        if (ways[i][j] >= mod) 
            ways[i][j] -= mod;
    }
}

由于元素的范围最高为1023，我可以维护一个Frequency F[i] ,数组，将上述代码减少到 O（1024 * 1024）。 这可能吗，频率数组可能有用吗？

Answer 1

嗯，答案几乎总是2 ^（N-10）

首先，请注意，如果您将一个元素与另一个元素进行异或，则它不会将XOR的子集数量更改为Q.

证明：假设你有一个大小为N的数组A，以及一组与特定值异或的子集。然后你做A [i] ^ = A [j]，i！= j。现在，要修复所有子集以使它们与相同的值进行异或，您只需找到包含A [i]的子集，并在其中切换A [j]。因此，我们所做的XOR不会影响XOR对任何特定值的子集总数。

因此...

找到最大的元素并将其移动到位置0.然后将其与所有其他具有相同MSB（最高有效位）的元素进行异或，以便A [0]是唯一具有最大MSB的元素
找到剩余的最大元素，将其移动到位置1，并将其与具有相同MSB的所有剩余元素进行异或，因此A [1]将是唯一具有第二大MSB的元素。
尽可能多地继续使用第三大MSB等。你最终得到最多10个非零元素，所有元素都有不同的MSB，剩下的元素都是零。

让我们说你最终得到M个非零元素。如果你可以通过将这些元素混合在一起来制作Q，那么只有一种方法可以做到。其他N-M元素都为零，因此您可以在不更改总XOR值的情况下从任何子集添加或删除它们。因此，如果您可以制作Q，则会有2 ^（N-M）个子集与XOR到Q.

如果你不能通过对那些非零元素进行异或来产生Q，那么当然XOR到Q的子集数量是0。

有关此程序的详细信息，请参阅Google＆＃34;高斯消除＆＃34;

使用给定Xor查找子集的编号

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