Question

在Python中，如何找到两个圆共有的所有整数点？

例如，想象一个维恩图的两个（大小相等）圆的交点，中心点(x1,y1)和(x2,y2)以及半径r1=r2。此外，我们已经知道圈子的两个交点是(xi1,yi1)和(xi2,yi2)。

如何以有效的方式生成两个圆圈中包含的所有点(x,y)的列表？也就是说，绘制一个包含交叉点的框并迭代它，检查给定点是否在两个圆圈内，但有更好的方法会很简单吗？

Answer 1

请记住，此处有四种情况。

两个圆都不相交，意味着“公共区域”为空。
一个圆圈完全位于另一个圆圈内，意味着“公共区域”是较小/内部圆圈。另请注意，如果它们是相同的同心圆，那么这种退化的情况就是这样的情况。鉴于它们是您指定的等直径圆的标准，情况必须如此。
两个圆圈在一个交叉点接触。
将要有两个交叉点的“一般”情况。从那里，您有两个弧定义封闭区域。在这种情况下，盒子绘制方法现在可以工作，我不确定是否有更有效的方法来确定交叉点包含的内容。但请注意，如果您只是对该区域感兴趣，那么a formula就可以了。

Answer 2

您可能还想了解图形开发中使用的各种裁剪算法。我使用剪切算法解决了很多类似于你在这里问的问题。

Answer 3

如果您的圈子的位置和半径可能会因粒度小于您的网格而变化，那么无论如何您都会检查一堆点。

您可以通过适当地定义搜索区域来最小化您检查的点数。它的宽度等于交点之间的距离，高度等于

r1 + r2 - D

D是两个中心的分离。请注意，此矩形通常不与X轴和Y轴对齐。（这也可以测试两个圆是否相交！）

实际上，你只需要检查这些点中的一半。如果半径相同，则只需要检查四分之一。问题的对称性可以帮助你。

Answer 4

你几乎就在那里。迭代框中的点应该相当不错，但是如果第二个坐标直接在限制之间迭代，则可以做得更好。

假设您首先沿x轴迭代，然后沿y轴迭代，而不是在边界框之间进行迭代，找出每个圆与x线相交的位置，更具体地说，您对交叉点的y坐标感兴趣，并且在那些之间迭代（注意四舍五入）

执行此操作时，由于您已经知道自己在圈内，因此可以完全跳过检查。如果你有很多积分，那么你会跳过很多检查，你可能会得到一些改进。

作为一项额外的改进，您可以选择x轴或y轴，以最大限度地减少计算交叉点所需的次数。

Answer 5

所以你想找到两个圆圈内的格点？

您建议绘制方框并迭代框中所有点的方法对我来说最简单。它可能是有效的，只要框中的点数与交叉点中的点数相当。

即使它没有尽可能高效，在你有充分的理由相信它是一个真正的瓶颈之前，你不应该尝试优化它。

Answer 6

我认为“所有点”的意思是“所有像素”。假设您的显示器是NX乘NY像素。有两个数组

int x0[NY], x1[NY]; initially full of -1.

两条曲线之间的交叉点是菱形的。沿每条曲线迭代x，y值。在每个y值（即曲线与y + 0.5交叉处）处，将x值存储在数组中。如果x0 [y]为-1，则将其存储在x0中，否则将其存储在x1中。

同时跟踪y的最低值和最高值。

完成后，只需迭代y值，并在每个y处迭代x0和x1之间的x值，即for (ix = x0[iy]; ix < x1[iy]; ix++)（或反向）。

了解像素不是x和y为整数的点非常重要。相反，像素是网格线之间的小方块。这样可以防止出现边缘问题。