解决递归序列

Question

最近我一直在解决来自Google Foobar的一些挑战，现在我已经被困在其中一个超过4天了。它是关于递归函数定义如下：

R(0) = 1
R(1) = 1
R(2) = 2
R(2n) = R(n) + R(n + 1) + n (for n > 1)
R(2n + 1) = R(n - 1) + R(n) + 1 (for n >= 1)

挑战在于编写一个函数answer(str_S)，其中str_S是整数S的基数为10的字符串表示形式，它返回最大n个R(n) = S。如果没有这样的n，则返回＆＃34;无＆＃34;。此外，S将是一个不大于10 ^ 25的正整数。

我已经研究过很多关于递归函数和解决递归关系的问题，但没有运气。我输出了前500个数字，但我发现每个数字都没有任何关系。我使用了下面的代码，它使用了递归，所以当数字开始变大时，它变得非常慢。

def getNumberOfZombits(time):
    if time == 0 or time == 1:
        return 1

    elif time == 2:
        return 2

    else:
        if time % 2 == 0:
            newTime = time/2
            return getNumberOfZombits(newTime) + getNumberOfZombits(newTime+1) + newTime

        else:
            newTime = time/2 # integer, so rounds down
            return getNumberOfZombits(newTime-1) + getNumberOfZombits(newTime) + 1

挑战还包括一些测试用例，所以这里是：

Test cases
==========

Inputs:
    (string) str_S = "7"
Output:
    (string) "4"

Inputs:
    (string) str_S = "100"
Output:
    (string) "None"

我不知道我是否需要解决任何更简单的复发关系，但由于有一个偶数和一个奇数，我觉得很难做（我还没有学到关于它在学校，所以我所知道的关于这个主题的一切都来自互联网文章。）

所以，任何指导我完成这一挑战的帮助都将受到欢迎：）

Answer 1

我没有尝试用数学方法简化这个函数，而是简化了Python中的算法。正如@LambdaFairy所建议的那样，我在getNumberOfZombits（time）函数中实现了memoization。这种优化加快了很多的功能。

然后，我进入下一步，试图看看那些兔子的输入是什么。我之前通过观察它的情节分析了这个函数，我知道偶数数字首先得到更高的输出，并且只有在一段时间之后奇数才达到相同的水平。由于我们想要输出的最高输入，我首先需要搜索偶数，然后搜索奇数。

正如您所看到的，奇数总是花费比偶数更多的时间来达到相同的输出。

问题是我们无法搜索每次增加1的数字（它太慢）。我要解决的是实现类似二分搜索的算法。首先，我会搜索偶数（使用二进制搜索算法），直到我找到一个答案或者我没有更多数字要搜索。然后，我对奇数进行了相同的操作（同样，使用二进制搜索算法），如果找到了答案，我就用它取代之前的任何东西（因为它必然比之前的答案更大）。

我有我用来解决此问题的源代码，所以如果有人需要它，我不介意分享它：）

Answer 2

解决这个难题的关键是使用二分搜索。

从序列生成器可以看出，它们依赖于大约n / 2的递归，因此计算R（N）需要大约2 * log2（N）个递归调用;当然，你需要为奇数和偶数做这件事。

这不算太糟糕，但你需要弄清楚在哪里搜索N会给你输入。为此，我首先实现了对N的上限和下限的搜索。我以2的幂向上走N，直到我有N和2N分别为每个序列（奇数和偶数）形成下限和上限。 / p>

通过这些界限，我可以在它们之间进行二元搜索，以快速找到N的值，或者它不存在。