用范围寻找高斯随机变量的概率

Question

我是MATLAB的初学者，试图用它来帮助我理解随机信号，我正在做一些正态概率密度函数计算，直到我遇到这个问题：

编写一个MATLAB程序来计算概率Pr(x1 ≤ X ≤ x2) 如果X是任意x1和x2的高斯随机变量。

请注意，您必须指定高斯随机的mean和variance 变量

我通常使用内置的normpdf函数当然选择我的均值和方差，但对于这一个，因为它有一个范围我不知道我能做什么来找到答案

 Y = normpdf(X,mu,sigma)

帮助将不胜感激

Answer 1

如果你从概率论中回忆起来，你知道Cumulative Distribution Function总结了从-infinity到某一点x的概率。具体而言，在特定点F(x)评估的随机变量P的概率分布X的CDF x定义为：

请注意，我假设我们正在处理离散情况。另外，我们将其称为左尾和，因为它将从分布左侧到点x的所有概率相加。因此，这会将曲线下方的区域定义为点x。

现在，您的问题是要找到某个范围x1 <= x <= x2之间的概率，而不仅仅是使用左尾总和（<= x）。现在，如果x1 <= x2，这意味着终点为x2的总面积，或所有事件达到并包括x2的概率，也是部分由x1定义的终点定义的区域的>。因为您希望概率介于某个范围之间，所以您需要累积x1和x2之间发生的所有事件，因此您希望PDF曲线下面的区域介于此范围之间。此外，您希望区域更大而不是x1且小于x2。

这是一个图例：

http://reliawiki.com/images/0/0b/Chp3pdf.png ^{Source: ReliaWiki}

上图是高斯分布函数的PDF，而下图是高斯分布的CDF。您会看到，如果x1 <= x2，x1点定义的区域也由x2处的点捕获。这是一个更好的图表：

http://work.thaslwanter.at/Stats/html/_images/PDF.png ^{Source: Introduction to Statistics}

这里CDF是连续的而不是离散的，但结果仍然是相同的。如果您希望区域介于两个区间之间，并且最终需要两个区间之间的概率，则需要将CDF值设为x2并减去 CDF价值x1。您需要剩余区域，因此您只需要减去 CDF值并最终减去左尾区域，因此：

因此，要计算高斯分布的CDF，请使用normcdf并指定高斯分布的均值和标准差。因此，您只需要这样做：

y = normcdf(x2, mu, sigma) - normcdf(x1, mu, sigma);

x1和x2是您想要计算概率总和的区间值。

Answer 2

您可以使用erf，

mu = 5;
sigma = 3;
x1 = 3;
x2 = 8;
p = .5*(erf((x2-mu)/sigma/2^.5) - erf((x1-mu)/sigma/2^.5));

error function在MATLAB中定义如下，