Question

我有一个 3d网格，其中网格上的每个点（x，y，z） 都与 相关联成本价值。任何点（x，y，z）的成本事先不知道。要知道成本，我们需要进行一个非常昂贵的复杂查询。我们对这个目标了解的一件事是，所有3个维度的成本单调不减少。

现在给定成本C，我需要找到表面上具有成本C 的点（x，y，z）。这必须通过仅花费最低成本来完成。如何解决我的问题？

当我在网上搜索时，我正在获得与轮廓识别相关的技术，但所有这些技术都假设所有点的成本都是预先知道的，比如Marching cubes方法等。在我的情况下，主要指标是计算成本的点数应该是最小。

如果有人能够提出一种获取近似位置的方法，至少如果不准确的话会很有帮助。

Answer 1

您应该查看本文，其中讨论了二维案例，并让您深入了解不同的方法： http://leetcode.com/2010/10/searching-2d-sorted-matrix.html

在我看来，逐步线性搜索（在那里的第二部分）对你来说是一个很好的第一步，因为它很容易应用于三维情况，它真的不需要很多经验来理解。
因为这是非常简单且仍然非常有效，我会继续使用它，看看它是否符合您在3-d中使用的数据类型的需求。

但是，如果您的唯一目标是性能，则应将二进制分区应用于3-d。这有点复杂，因为他所说的“二进制分区”基本上变成了“二进制平面分区” 因此，您没有将矩阵划分为2个可能较小的矩阵的线相反，你有一个平面将你的立方体分成两个可能的较小的立方体要使该平面（或矩阵）中的搜索有效，您首先必须实现他的一种方法:)。
然后用较小的立方体重复一切请记住，以非常有效的方式实现这一点（即记住内存访问）并非易事。

Answer 2

我会给出这个答案，以尽量减少计算的费用数量。 Matt Ko链接到一个很好的解决方案，但它假设一个廉价的成本函数和基于矩阵的数据，你似乎没有。我给出的方法要求更接近成本函数O(log N + k)调用，其中k是具有所需成本的点数。请注意，这种具有一些性能优化的算法可以在3D矩阵上成为O(N)，几乎没有机会调用性能成本函数，尽管它有点复杂。

psudeocode基于quickselect中使用的技术，如下所示：

While there are still points under considerations:
    Find the ideal pivot point and calculate it's cost
    Remove the pivot from the point set
    If the cost is the desired cost then:
        Add the pivot to the solution set
    Else:
        Separate the points into 3 groups:
             G1. Those that are in in the pivot's octant `VII`
             G2. Those have the same x, y, or z of the pivot
             G3. Those that are not in the pivot's octant `VII`
             # Note this can be done in O(N)

        If all points are in group 2:
            Use 1D binary searches in each dimension to find points with the desired cost
        Else:
            Compute the cost of the pivot
            Keep all points in group 2
            If the pivot cost is greater than desired:
                Keep only the points in group 1
            Else:
                Keep only the points in group 3

根据该行octant VII内外的点选择枢轴。如果需要，可以在稍后处理形成八分圆的3条线中的任何一条点（G2）。

理想的枢轴点是组1（G1）和组3（G3）中的点数尽可能接近相等。以数学方式看待它将沿两条中较小的一条最大化两者中的较大者，或maximize(max(|G1|,|G3|) / min(|G1|,|G3|) )。即使是一个寻找理想枢轴点的相当天真的算法也可以在O(N^2)（可能存在O(N log N)算法）中找到它，但是需要O(N^3)来计算理想枢轴的成本。找到。

在找到理想的枢轴并计算成本之后，每次迭代应该平均看到丢弃的剩余点的大约一半，这再次导致仅对成本函数进行O(log N + k)次调用。

最后注意事项：

回想起来，我不确定第2组的特殊考虑是否真的需要，因为它可能在第3组，但我不是100％肯定。但是，将它分离似乎并没有改变Big O，所以我没有看到需要改变它，尽管这样做会略微简化算法。

在三维网格上有效地找到等成本点，并且点数成本最低

2 个答案: