2的幂集上划分的多项式时间算法？

Question

这是一个比编程/实现更多的算法/证明问题，所以如果StackOverflow不适合它就道歉。

至于问题：

假设我们有一组数字，每个数字必须是正整数且幂2。例如，我们可能有{1, 1, 2, 4, 8, 8, 8, 8, 128}。我们希望将该集合划分为A和B，其中每个元素必须完全位于A或B，以便A'的总和s元素等于B元素的总和。是否有针对这种情况的多项式时间算法，它总是

• 确定不存在偶数拆分，或
• 将分区返回A和B，使其总和相等？

如果没有多项式时间算法，当然，我很想知道证明这一点的方向（即通过显示与另一个NP难问题的等价）。

我知道有一些问题可能会有所帮助，对于上下文，我会在这里总结一下：

1. 设置分区是NP难的。在set-partition中，您有一组任意数字。解决方案是一个分区A和B，其中每个元素都恰好是A或B，这样sum(A) = sum(B)。
2. 子集和是NP难的。在subset-sum中，您有一组任意数字。解决方案是该集合的子集，使得子集的元素的总和等于某个期望的数字x。

非常感谢任何帮助。谢谢！

Answer 1

一种看待这种情况的方法是说你试图表达一个目标数，即总数/ 2，作为所提供数字的总和。这实际上只是改变的问题。

这是一个有用的引理：如果你有一组硬币，其值都是两个值<= 2 ^ k的两个幂，那么你可以准确地做出2 ^ k，或者你不能使任何数字变大，或更大，超过2 ^ k。要看到这一点，拿走你所有的硬币，如果你有一枚以上相同价值的硬币，就把这两枚硬币粘在一起制作一个下一个最高值的硬币，直到硬币耗尽或达到2 ^ k。如果你达到2 ^ k就完成了。如果你用完了，你就拥有了各种价值的单个硬币的集合，它们仍然是2的幂，都小于2 ^ k，每个不同的值只有一个，所以结果不能超过2 ^ k -1

现在要更改目标值，将您的数字视为硬币，并反复将可用的最大硬币放在一边，该硬币不超过您目前所拥有的值与目标值之间的差异。

如果达到目标值，问题就解决了。如果没有，你错过了正确的答案吗？你开始使用最大值的硬币。寻找你的第一个错误 - 你拿了一个2 ^ k大小的硬币，并且有一些方法来弥补不包括这个2 ^ k大小的硬币的余额。但这种神奇的方式是使用不超过2 ^ k的值的硬币来弥补超过2 ^ k的变化。所以在这个正确的答案中，有一组硬币加起来恰好是2 ^ k。拿这个正确的答案，删除加起来2 ^ k的硬币，然后用你使用的2 ^ k的硬币替换它，你得到另一个正确的答案 - 所以你是对的，如果你能得到任何解决方案，你可以通过重复使用可用的最大硬币（数量）小于目标值的距离来获得它。

完整性检查 - 查看http://cs.mcgill.ca/~lyepre/pdf/assignment2-solutions/subsetSumNPCompleteness.pdf中给出的子集和的减少，并注意它需要的数字不是2的精确幂，所以我在这里提出的，证明只有当数字是2的幂，并不声称在多项式时间内解决NP完全问题。