最小整数在单精度浮点中无法表示

Question

所以我知道单个精度浮点无法表示的最大整数是2 ^（23 + 1）+ 1 = 16,777,217。

我们怎么知道我们使用2 ^（23 + 1）+ 1.我知道有一个隐含的1，同时23是尾数中表示的位数，但为什么这有效？

Answer 1

我认为这里的技巧是理解浮点表示的基础：每个数字表示为1.fraction * 2 ^ exponent。这里的关键是知道指数（8位）和分数（23位）都有限制，但这些限制不一定匹配。例如，我们可以使用8位指数创建2 ^ 24，而我们不能使用分数2 ^ -24（因为它只有23位）。因此，如果你想使数字16777216 = 2 ^ 24，你只需将分数设置为0并将指数设置为24。但是，如果你想表示16777217 = 2 ^ 24 + 1，你唯一能做的就是是添加一小部分，所以当它乘以2 ^ 24时它产生1，而那个小部分应该是2 ^ -24，遗憾的是只有23位数不能产生。

Answer 2

我想我得到了你的问题。看看这个，特别是关于如何完成这些变量的结构/设计。 http://en.m.wikipedia.org/wiki/Single_precision

Float通常代表浮点变量。这意味着您（通常是3个字节）存储您的号码。然后你还有一个（一个字节）的指数，它表示在这个数字内设置点的位置。

现在，您可以轻松计算出可以存储在此值中的最大和最小数字。

但是有一个棘手的部分。由于这不是固定点整数，因此它可能具有有限的精度，可能导致奇怪的问题。随着数字越来越大，数字之间的绝对距离越来越大。 在某些时候，您将到达一个数字，您可以在其中添加1，并且它将保持相同的数字，因为一个数字超出了您可用的精度范围。 正如您将在上面的wiki页面上看到的： 1位用于标记负数，23位用于精度，8位用作指数。现在想象一下，作为一个例子，指数将是40，现在你将有一个23位数字，其中点位于位置40.所有其余部分用0填充。添加1不会改变数字，因为它在外面重要的范围，不会被存储。

也许你在问为什么指数中还有另外一个+1。这里很好地解释了这一点：Which is the first integer that an IEEE 754 float is incapable of representing exactly? 这导致abcdefg形式的尾数实际上代表1.abcdefg。

Answer 3

  

我们怎么知道我们使用2 ^（23 + 1）+1

IEEE浮点表示以下形式的归一化数字。

（-1） ^s 2 ^{（e – e ₀ ）}（1+（m / 2 ^M ））

位置：

• s是符号位，值为0或1。
• e是指数字段，其值介于1和2 ^E -2之间，其中E是指数位数（值0和2 ^E -1用于次法线和无穷/ NaNs。
• e ₀ 是指数偏差。它实际上是设置浮点数的整体范围。
• M是尾数位数。
• m是0到2 ^M -1
之间的尾数

零不能用这种格式表示，但是可以将其指定为次标准态，所以可以。所有可以表示的非零整数都以规范化格式表示。

我们将正整数i转换为浮点数。

e = floor（log ₂ （i））+ e ₀

m =（（i / 2 ^{（e – e ₀ ）}）-1）2 ^M

如果i <2 ^{M + 1} ，则（e − e ₀ ）≤M，因此m是整数。因此，我可以代表。

如果i = 2 ^{M + 1} ，则（e − e ₀ ）= M + 1且m =0。因此，i是可表示的。

如果i = 2 ^{M + 1} +1，则（e − e ₀ ）= M + 1且m =½。因此我无法代表。