如果我在计算强连接组件时不使用G转置怎么办？

Question

我正在阅读算法简介。在22.5强连通分量中，STRONGLY-CONNECTED-COMPONENT（G）算法定义为：

1. 调用DFS（G）计算每个顶点的完成时间u.f
2. 计算G转置
3. 调用DFS（G转置），但在DFS的主循环中，按u.f递减的顺序考虑顶点（在第1行中计算）
4. 将第3行中形成的深度优先林中每棵树的顶点输出为单独的强连接组件

如果我将alogrithm更改为仅使用G，而不计算G转置。还要按增加u.f（拓扑排序的反向顺序）的顺序考虑顶点：

1. 调用DFS（G）计算每个顶点的完成时间u.f
2. 调用DFS（G），但是在DFS的主循环中，按照增加u.f的顺序考虑顶点（在第1行中计算）
3. 输出第2行中形成的深度优先林中每棵树的顶点

为什么这个算法错了？

Answer 1

通过定义，强连通分量中的顶点彼此连接（通过路径，不一定是直接边缘）。如果你在顶点X上进行第一次DFS调用，你会发现＆＃34;哪些顶点是X连接到＆＃34; （X - > N）。为了确保所有这些顶点都连接到X（N - > X）并因此验证强连接，您需要以相反的方向遍历边缘。最简单的方法是通过转置图表。

如果您查找算法证明，我相信您会找到一些。它可能不是最容易理解的，但请查看此源代码，例如： Correctness of the algorithm for finding strongly connected components

Answer 2

你的问题实际上是书中练习22.5-3。这里给出了替代算法正确性的反例： http://sites.math.rutgers.edu/~ajl213/CLRS/Ch22.pdf

  

培根教授的建议没有成功。举个例子，假设   我们的图形位于三个顶点{1,2,3}上，由边（2,1），（2,3），（3,2）组成。   然后，我们最终应该以{2,3}和{1}作为我们的SCC。但是，有可能   DFS从2开始可以在1之前探索3，这意味着完成   15   3的时间低于1和2.这意味着当我们第一次执行时   DFS从3开始。但是，从3开始的DFS将能够到达所有其他   顶点。这意味着该算法将返回整个图形为a   单个SCC，即使事实并非如此，因为既没有路径   从1到3的1到2。

我对替代算法失败的解释是，在强连通分量C中给定顶点v，如果f（v）是最大的，则f（C）必须是最大的，但如果f（v）是最小的，比f（C）可能不是最小的。