Question

for( int bound = 1; bound <= n; bound *= 2 ) { 
    for( int i = 0; i < bound; i++ ) { 
        for( int j = 0; j < n; j += 2 ) { 
            ... // constant number of operations 
        } 
        for( int j = 1; j < n; j *= 2 ) { 
            ... // constant number of operations 
        } 
    } 
}

正确的答案是O（n2）。据我所知，在前两个for循环中，它们是“嵌套的”。由于绑定从1到n，我开始绑定。第三个和第四个循环不是嵌套的。

第三个for循环具有复杂度O（n + 2），第四个for循环具有复杂度O（log n）

有人告诉我，因为n2＆gt; n + 2 + log n，算法为O（n2）。（我对这一步感到困惑）

我认为你想要将每个循环相乘，所以不应该是log n（外循环）* n（第二外循环）* n（第三）* log N（第四）。我怎么知道我需要添加或乘法的循环，以及我应该采用哪个循环的值（对于前两个循环，我是否采用N超过log N，因为N要小于处理？

Answer 1

复杂性应为O(n³)。

首先考虑最内层循环：

for( int j = 0; j < n; j += 2 ) { 
    ... // constant number of operations 
}

索引j的值0, 2, 4, 6, 8, ...最多为n，因此j最多可能需要n / 2 + 1个值，因此此循环的复杂性为{ {1}}。

另一个最内圈：

O(n)

索引for( int j = 1; j < n; j *= 2 ) { ... // constant number of operations }的值j最多为1, 2, 4, 8, 16, ...，因此n最多可能需要j个值，因此此循环的复杂性为{ {1}}。

因此，对于任何已修复 log(n) + 1和O(log(n))，两个最内层循环完成的总工作为bound。

现在考虑两个最外层循环。请注意，如果最外层循环的变量i为O(n) + O(log(n)) = O(n)，那么bound索引的循环将完全循环k次。

由于k取值for( int bound = 1; bound <= n; bound *= 2 ) { for( int i = 0; i < bound; i++ ) { // work done by the inner-most loops } }，因此这两个嵌套循环将循环：

bound

请注意，这只是一个geometric series，其公用比率为1, 2, 4, 8, ...，因此求和总结为：

1^2 + 2^2 + 4^2 + 8^2 + ... + (2^⌊log(n)⌋)^2

由于最内层循环的工作与这两个循环无关，因此总复杂度由4给出。

解释这个Big O复杂性代码的答案

1 个答案: