区分n张图片的算法

Question

假设您给出长度为k的N位数组。意思是每个向量v _i 的形式为{1,0,0,1 ... 1}（k个成分）等。

现在我想找到最小索引集S = {I ₀ ，I ₁ ...，I _q-1 } ，0 <= I _i ＆lt; = k-1，使得

当在S上评估v _i 时，它给出二进制序列{v _i [I ₀ ]，v _{i < / sub> [I 1 ] ..}对于每个v i 是唯一的。}

因此，例如，如果有64个向量{v ₀ ... v ₆₃ }，则最小索引集| S |在给定v _i 的情况下，大小为6可能非常长且完全不同。因为2 ⁶ = 64。

应用程序是给定一个固定的黑白图片列表，0 ... 63，你知道输入将是那些图片之一，图片足够大，你只需要检查输入的6个像素弄清楚它是哪张照片。

这个问题似乎应该已经证明是NP或在某处解决了。

任何提示？谢谢。

Answer 1

我无法找到与此相对应的NP难题，但我确定它是NP难的。我希望有人可以挖出一个，因为我认为我已经遇到了几个不同的伪装问题。如果没有，如果我有时间，我可能会稍后尝试减少。

每列将图像集分成两部分;我们从包含所有图像的单个集合开始，我们的目标是到达一个分区，其中每个部分（在分区中设置）由单个图像组成，并且使用尽可能少的列。

一种方法是制作和解决Minimum Set Cover problem，其中地面集包含所有k（k-1）/ 2 对图像，并且对于每列v_r我们制作一个由该列区分的所有图像对组成的集合 - 即所有图像对（i，j），使得v_r [i]！= v_r [j]。然后任何封面都会将每个图像与其他所有图像区分开来，并且最小尺寸的封面将使用尽可能少的列来完成。

实际解决此集合覆盖问题的最快方法可能是通过制定和解决ILP，但branch and bound也可以工作，也可以很容易地变成（快速但可能）次优的启发式。

无论哪种方式，这里有一些简单的简化规则，你可以在尝试解决问题之前应用（并且在添加每一列之后，如果你使用B＆amp; B），这通常会减少问题的大小：

1. 如果将所有1更改为0，则列提供相同的“区分能力”，反之亦然。因此，如果列的第一个元素是1，则将它们反转为“规范化”。
2. 将所有相同的列折叠为一列，因为它们中的任何一列都与其他列完全一样好。这可以通过首先对它们进行排序来轻松完成：然后所有相同的列形成一个连续的块。在执行第一次减少后执行此操作将导致更多减少。
3. 您当然可以删除任何“常量列” - 它们无法用于区分图像。
4. 如果你有任何一对相同的行，那就没有解决方案：即使包括所有k位也不能让你区分这两行（图像）。