Question

代数数据类型的语法与Backus–Naur Form的语法非常相似，后者用于描述无上下文语法。这让我想到，如果我们将Haskell类型检查器看作语言的解析器，表示为代数数据类型（例如，表示终端符号的nularry类型构造函数），则接受的所有语言的集合与一组上下文免费语言？另外，通过这种解释，GADT可以接受哪些正式语言？

Answer 1

首先，数据类型并不总是描述一组字符串（即语言）。也就是说，虽然列表类型的确如此，但树型不会。有人可能反驳说，我们可以将树木“压扁”成列表，并将其视为他们的语言。然而，像

这样的数据类型呢？

data F = F Int (Int -> Int)

或更糟糕

data R = R (R -> Int)

多项式类型（内部没有->的类型）大致描述了可以展平的树（按顺序访问），所以我们以这些为例。

正如您所观察到的，将CFG写为（多项式）类型很容易，因为您可以利用递归

data A = A1 Int A | A2 Int B
data B = B1 Int B Char | B2

上面A

表示{ Int^m Char^n | m>n }。

GADT远远超出了无语境的语言。

data Z
data S n 

data ListN a n where
  L1 :: ListN a Z
  L2 :: a -> ListN a n -> ListN a (S n)

data A
data B
data C

data ABC where
   ABC :: ListN A n -> ListN B n -> ListN C n -> ABC

上面ABC

表示（扁平化）语言A^n B^n C^n，它不是无上下文的。

你几乎不受GADT限制，因为用它们编码算术很容易。也就是说，您可以使用Peano构建一个非空{if} Plus a b c的{{1}}类型土黄。如果图灵机c=a+b，您还可以构建一个非空的类型Halt n m 输入m暂停。所以，你可以建立一种语言

是递归的（大概不是在任何更简单的类中）。

目前，我不知道您是否可以在GADT中描述递归可枚举（可计算可枚举）的语言。即使在停止问题的例子中，我也必须包括“证明”一词在GADT里面让它发挥作用。

直观地说，如果你有一个长度为{ A^n B^m proof | n halts on m , and proof proves it }的字符串，并且想要针对GADT检查它，你可以构建所有GADT深度n项，展平它们，然后与字符串进行比较。这应该证明这种语言总是递归的。但是，存在类型使这棵树成为可能方法相当棘手，所以我现在没有明确的答案。

常规的haskell代数数据类型是否等同于上下文无关语法？ GADTS怎么样？

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