检查图中的顶点是否属于循环

Question

我有一个无向图（可能有多个边），我需要检查一个给定的顶点是否属于O(|V|)中的某个循环。请注意，图表可能很密集。

Answer 1

如果您可以走出它并稍后通过其他顶点返回，则顶点将属于一个循环。

算法可以如下：

1. 将当前顶点V ₀ 添加到已访问顶点列表中，V。

2. sizeof（V）＆lt; N我们将列出V ₁ ，...，V _k ，你可以从V ₀

3. 重复步骤2，直到找到路上的V ₀ - 这意味着它处于循环中 - 或者直到sizeof（V）= N或者没有新的顶点可以添加到V（图可能会断开）。 注意：重复步骤2意味着我们可以找到最后添加的一组顶点列表（V ₁ ，...，V _{k < /子>）。}

使用这个算法，我看到每个顶点只检查一次，所以它是O（| V |）。

Answer 2

您可以在图表中继续删除叶子（只有1个非多边缘）。如果v不在循环中，则必须移动它。此外，当v包含在某个循环中时，v不能被删除，因为循环中的任何顶点都不会成为叶子。你需要删除| V |最多也是顶点，你需要只考虑一条边，因为你在每一步都去掉一片叶子。所以它是O（V）方法。

Answer 3

一个顶点，v属于一个循环，如果DFS以此顶点为根，则包含与v相邻的后边缘。很容易看出这种情况就足够了。为了表明有必要，请考虑v所属的循环。让其周期中的邻居为x和y。由于x，y和v位于一个周期内，因此从v到y的路径经过x，反之亦然。因此，x和y位于DFS的同一子树中。因此，至少有一个边xv和yv不能是树边缘。换句话说，这两个边中的至少一个是后备。