椭圆体和抛物面关系

Question

我的任务是使用带有 opengl 的c ++创建抛物面和椭圆体。
我实施抛物面作为一组点，距离焦点的距离和距离平面的距离是相同的。运行编译器后，我得到了一个看起来像椭圆体的东西。

错误在于我不小心在距离焦点的距离处放置了乘数（大约为1.1）。 所以我得到了等式|Q-F|*1.1=|Q-P|，其中Q是要确定椭圆/抛物面的一部分，F是焦点的点，P是从中投射的点F到飞机（P->F向量是这种方式的飞机的正常向量）。
在将等式修正为|Q-F|=|Q-P|之后，我得到了抛物面，如预期的那样。当我将等式改为(|Q-F|*m=|Q-P| ,m>1)时，我得到了一个椭圆体。 这个等式真的是椭圆体吗？

Answer 1

考虑2D情况就足够了（因为抛物面和椭圆体可以通过旋转形成） 设点中的点的距离为L到OY轴，距离为R到F点，距离比为系数m：

L * m =  R

我们m^2 = k

k * L^2 = R^2
k * X^2 = Y^2 + (X - F)^2
X^2 * (k-1) + 2 * X * F - F^2 = Y^2

当k = 1时

Y^2 = 2* F * (X - F/2)

这是抛物线的规范等式，偏移了F / 2

k > 1, k-1 = p > 0时，

X^2 + 2 * X * F / p - Y^2 / p = F^2 / p

这是双曲线

k < 1, 1 - k = p > 0时，

-p * X^2 - 2 * X * F + Y^2 + F^2 = 0
(X - F/P)^2 + Y^2/p = F^2/p^2*(1-p)

如果我的计算中没有错误，那么这是椭圆形，以Xc = F/p为中心，带有半轴F*Sqrt(1-p)/p和F * Sqrt((1-p)/p)