旋转抛物面曲面拟合

Question

我有一组实验确定的（x，y，z）点，它们对应于抛物线。不幸的是，数据没有沿任何特定轴对齐，因此对应于旋转的抛物线。

我有以下一般表面： Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cz ^ 2 + Dxy + Gyz + Hzx + Ix + Jy + Kz + L = 0

我需要生成一个能够准确表示抛物线的模型（我假设）最小二乘拟合。我似乎无法弄清楚这是如何工作的。我有旋转抛物线，直到它的中心轴与z轴对齐，但我不知道这个轴是什么。 Matlab的cftool似乎只适合z = f（x，y）形式的方程式，我不知道python中可以解决这个问题的任何东西。 我也尝试用数字求解参数。当我尝试将其变成矩阵方程并用最小二乘法求解时，矩阵结果是可逆的，因此我的参数只是全零。我也坚持这一点，任何帮助将不胜感激。我不介意这个方法，因为我熟悉matlab，python和线性代数，如果需要的话。

由于

Answer 1

请勿对此问题使用任何工具箱，GUI或特殊功能。您的问题很常见，您提供的等式可能会以非常直接的方式解决。线性最小二乘问题的解决方案可概括为：

1. 向量空间的基础是x ^ 2，y ^ 2，z ^ 2，xy，yz，zx，x，y，z，1。因此，你的向量有10个维度。
2. 您的问题可能表示为Ap = b，其中p = [A B C D E F G H I J K L] ^ T是包含您的参数的向量。右侧b应全为零，但由于模型误差，数据不确定性或数值原因，将包含一些残差。必须尽量减少这种残留。
3. 矩阵A的维数为N×10，其中N表示抛物线表面已知点的数量。

A = [x（1）^ 2 y（1）^ 2 ... y（1）z（1）1

...

x（N）^ 2 y（N）^ 2 ... y（N）z（N）1]

1. 通过计算p = A \ b
来求解超定线性方程组

Answer 2

您是否有足够的数据点来满足所有10个参数 - 您至少需要10个？

我还怀疑有10个参数用于描述一般抛物面，这意味着一些参数是依赖的。我的意思是翻译和旋转的抛物面需要7个参数（虽然我不太确定）