我知道花车和双打中的精度问题，这就是为什么我这样问：
如果我有一个公式，例如：(a/PI)*180.0（其中PI是常数）
我应该将除法和乘法结合起来，所以我只能使用一个除法：a/0.017453292519943295769236，以避免精度损失？
如果计算结果的步骤较少，这是否会使其更精确？
答案 0 :(得分：4)
是的，通常应该将尽可能多的乘法和除法组合成一个操作。它（通常（*））同时更快，更准确。
π和π/ 180及其反转都不能完全表示为浮点。因此，计算将涉及至少一个近似常数（除了所涉及的每个操作的近似值之外）。
因为两个操作分别引入了一个近似值，所以可以预期在一次操作中进行整个计算会更准确。
除此之外，“幸运”的问题是π/ 180在浮点格式中表示的相对精度是好于还是差于180 /π。
我的编译器提供了long double类型的附加精度，因此我可以将其用作double回答此问题的参考：
~ $ cat t.c
#define PIL 3.141592653589793238462643383279502884197L
#include <stdio.h>
int main() {
long double heop = 180.L / PIL;
long double pohe = PIL / 180.L;
printf("relative acc. of π/180: %Le\n", (pohe - (double) pohe) / pohe);
printf("relative acc. of 180/π: %Le\n", (heop - (double) heop) / heop);
}
~ $ gcc t.c && ./a.out
relative acc. of π/180: 1.688893e-17
relative acc. of 180/π: -3.469703e-17
在通常的编程实践中，人们不会打扰并简单地乘以（180 /π的浮点表示），因为乘法比除法快得多。
事实证明，在binary64浮点类型double几乎总是映射到的情况下，π/ 180可以用比180 /π更好的相对精度来表示，所以π/ 180是应该使用的常数优化准确度：a / ((double) (π / 180))。使用这个公式，总相对误差大约是常数的相对误差（1.688893e-17）和除法的相对误差之和（取决于a的值，但永远不会是超过2 -53 ）。
请注意，划分是如此昂贵，以至于通过使用一个乘法和一个fma可以更快地获得更准确的结果：让heop1成为180 /π的最佳double近似值，{{{ 1}}最佳heop2近似180 /π - double。然后，结果的最佳值可以计算为：
heop1以上是对实数计算的绝对最佳double r = fma(a, heop1, a * heop2);
近似的事实是一个定理（事实上，它是一个有例外的定理。细节可以在“浮点手册”中找到算术”）。但即使你想要乘以double以获得double结果的实常数是该定理的例外之一，上述计算仍然非常准确，只是与double的一些特殊值的最佳double近似值。
如果像我一样，你的编译器为a提供的精度比long double更高，你也可以使用一个double乘法：
long double这不如基于fma的解决方案好，但对于// this is more accurate than double division:
double r = (double)((long double) a * 57.295779513082320876798L)
的大多数值来说，它足以产生对实际计算的最佳a近似值。
（*）对大多数常数来说，最好将常数分组是合理的。
如果您希望将double乘以（例如）实常数0.0000001 * a，那么最好先乘以DBL_MIN，再乘以{{1}并且最终结果（如果0.0000001大于1000000左右，则可以是标准化数字）将比您乘以0.0000001 * {{1的最佳DBL_MIN表示更精确}}。这是因为将0.0000001 * a表示为单个double值时的相对准确度远远低于表示0.0000001的准确度。