透视投影矩阵的说明（第二行）

Question

我试图找出透视投影矩阵的工作原理。

根据这个：https://www.opengl.org/sdk/docs/man2/xhtml/gluPerspective.xml

f = cotangent（fovy / 2）

逻辑上我理解它是如何工作的（x-和y-值远离边界框移动，反之亦然），但我需要一个数学解释为什么这个工作。也许是因为相交线的定理???

我在这里找到了解释：http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html 但我不明白它的相关部分。

Answer 1

至于我，对songho.ca的透视投影矩阵的解释是最好的。 我将尝试重述主要想法，而不是详细介绍。但是，首先，让我们澄清为什么 cotangent 用于OpenGL文档。

什么是 cotangent ？相应于wikipedia：

角度的余切是相邻边长与相对边长度之比。

请看下面的图片，附近是相邻边的长度，顶部是的长度对面。 fov / 2 是我们感兴趣的角度。 角度 fov 是顶部平面和底部平面之间的角度，角度 fov / 2 是顶部（或底部）平面与对称轴之间的角度。 / p>

因此，在opengl文档中定义为余切（fovy / 2）的投影矩阵的[1,1]元素等于 near / top 的比率。

让我们看一下图片中指定的A点。让我们找到点A'的 y'坐标，它是近平面上A点的投影。

使用相似三角形的比率，可以推断出以下关系：

y' / near = y / -z

或者：

y' = near * y / -z

归一化设备坐标中的y坐标可以通过除以值 top 获得（范围（-top，top）映射到范围（-1.0,1.0）），因此：

yndc = near / top * y / -z

系数 near / top 是一个常数，但是 z 呢？关于规范化设备坐标有一个非常重要的细节。 顶点着色器的输出是一个四分量矢量，通过将前三个分量除以第四个分量，将其转换为插值器中的三个分量矢量：

，

因此，我们可以为第四个组件分配 -z 的值。可以通过为投影矩阵的元素[2,3]指定值 -1 来完成。

可以对x坐标进行类似的推理。

我们找到了投影矩阵的以下元素：

| near / right      0               0           0 | 
| 0                 near / top      0           0 |
| 0                 0               ?           ? |
| 0                 0               -1          0 |

我们没有找到两个元素，它们标有'？'。

为了清楚说明，让我们将一个任意点（x，y，z）投影到规范化的设备坐标：

| near / right      0               0           0 |   | x |
| 0                 near / top      0           0 | X | y | = 
| 0                 0               ?           ? |   | z |
| 0                 0               -1          0 |   | 1 |

  | near / right * x |
= | near / top * y   |
  | ?                |
  | -z               |

最后，在除以 w 组件后，我们将得到：

| - near / right * x / z |
| - near / top * y  / z  |
| ?                      |

请注意，结果与先前推断的等式匹配。

标有'？'的第三个组件。需要更复杂的推理来找出如何计算它。有关更多信息，请参阅songho.ca。

我希望我的解释能让事情变得更加清晰。