Question

我练习编写针对空间或时间复杂度进行优化的算法。使用优质筛，至少您必须存储所有找到的素数列表。似乎与发现的素数成比例的数据是这种算法可能使用的最小空间量。

这个理由有效吗？
如何评估此算法的空间复杂度？

From Wikipedia about the sieve of Atkin - 我不确定的是，当素数超过此值时，筛子如何使用O（n ^ 1/2）空间。这就是为什么它似乎至少必须与质数的数量成比例。我是否将可数数字与空间复杂性混为一谈？

In this paper on the sieve of Atkin，他们的算法打印＆＃34;素数高达N ...这里“记忆”不包括打印机使用的纸张。＆＃34;这似乎是对空间的不公平计算。

我希望澄清这应该如何/实际上是客观地测量的。

def prime_sieve(limit):
    factors = dict()
    primes = []
    factors[4] = (2)
    primes.append(2)
    for n in range(3, limit + 1):
        if n not in factors:
            factors[n * 2] = (n)
            primes.append(n)
        else:
            prime = factors.get(n)
            m = n + prime
            while m in factors:
                m += prime
            factors[m] = (prime)
            del factors[n]
    return primes

Answer 1

此算法的空间复杂度为len(numbers) + len(primes);列表的大小加上字典的大小。

在这种情况下，算法更糟比你期望的天真素数筛（limit）。 len(numbers) + len(primes) > limit因为例如对于prime_sieve(100)，以下不相关的数字存储在numbers：

中

{129: 43, 134: 67, 141: 47, 142: 71, 146: 73, 158: 79, 166: 83, 178: 89, 194: 97, 102: 17, 104: 2, 105: 3, 106: 53, 110: 11, 111: 37, 112: 7, 114: 19, 115: 23, 116: 29, 117: 13, 118: 59, 120: 5, 122: 61, 123: 41, 124: 31}

有几种素数筛，具有不同的时间和空间复杂性;见例如Wikipedia以及How do i reduce the space complexity in Sieve of Eratosthenes to generate prime between a and b?

等问题

另请注意，prime = numbers.get(n)没有必要 - 您已经检查了if n not in numbers，因此您只需使用prime = numbers[n]。

Answer 2

空间复杂度测量非常公平。如果将primes.append(n)替换为yield n，并在消费者例程中逐个处理素数而不将它们全部存储，例如查找具有特定属性的素数，则需要存储空间素数本身是O（1），以素数的数量来衡量。

（yield是构建生成器的Python方式，这是一种协同例程，它向调用者发出值并保存函数的状态，以便它可以重新生成输入。）

Answer 3

“使用优质筛子，至少你必须存储所有找到的素数列表。”

不正确的。您只需要在下限（包括）上限的平方根下面的素数，以筛选该范围内的素数。

如果您的筛子是增量的，无限制的，那么您只需要在当前生产点的平方根下面（并包括）填充。

怎么可能？通过为“核心”质数（低于sqrt的那些）使用单独的素数供应，完全可以使用相同的函数计算 - 递归。有关示例，请参阅this answer。

不计算生产的素数是完全合法的 - 你可以确实将它们发送到打印机或外部文件等等。因此，这种筛子的空间复杂性将是{{ 1}}对于 n 素数达到 N~ = n * log n 。

另外，不要靠近阿特金的筛子。街上的一句话是，用它来击败Eratosthenes的正确轮式筛子是不可能的（通过GordonBGood搜索关于这个主题的答案，如this one）。< / p>

具有与质数数量成比例的数据的主筛的空间复杂性是多少？

3 个答案: