Matlab中函数的FFT与分析FT解的比较

Question

我试图将exp（-t ^ 2）的FFT与函数的分析傅立叶变换exp（ - （w ^ 2）/ 4）/ sqrt（2）进行比较，频率范围为-3到3

我编写了以下matlab代码，现在已经多次迭代，但没有成功。

fs = 100; %sampling frequency
dt = 1/fs;
t = 0:dt:10-dt; %time vector
L = length(t); %number of sample points
%N = 2^nextpow2(L);  %necessary?

y = exp(-(t.^2));
Y=dt*ifftshift(abs(fft(y)));

freq = (-L/2:L/2-1)*fs/L; %freq vector

F = (exp(-(freq.^2)/4))/sqrt(2); %analytical solution

%Y_valid_pts = Y(W>=-3 & W<=3); %compare for freq = -3 to 3
%npts = length(Y_valid_pts);
% w = linspace(-3,3,npts);
% Fe = (exp(-(w.^2)/4))/sqrt(2);

error = norm(Y - F)  %L2 Norm for error

hold on;
plot(freq,Y,'r');
plot(freq,F,'b');
xlabel('Frequency, w');
legend('numerical','analytic');
hold off;

你现在可以看到，我只是想让这两个情节看起来相似。最后，我想找到办法做两件事： 1）找到最小采样率， 2）找到最小样本数， 达到10 ^ -4的误差（定义为两个解之间差异的L2范数）。

我觉得这很简单，但我似乎无法让两个图表在视觉上达成一致。 如果有人能告诉我出错的地方以及如何解决上述两点（最低采样频率和最小样本数量），我将非常感激。

由于

Answer 1

首先要注意的是，函数exp(-t^2)在+/-无穷大范围内的傅立叶变换对，实际上可以从tables of Fourier transforms导出：

最后，当您生成函数exp(-t^2)时，您将t的范围限制为正值（而不是取整个+/-无穷大范围）。 对于要保持的关系，您必须使用以下内容生成exp(-t^2)：

t = 0:dt:10-dt;     %time vector
t = t - 0.5*max(t); %center around t=0
y = exp(-(t.^2));

然后，变量w表示以弧度表示的角频率，它与归一化频率freq通过：

w = 2*pi*freq;

因此，

F = (exp(-((2*pi*freq).^2)/4))*sqrt(pi); %analytical solution