用于验证非交叉形状的自由多边形顶点的算法

Question

我的任务是允许用户在画布上输入任意数量的任意点，并按照指定的顺序将它们链接在一起以绘制多边形。

但是，每次用户尝试添加一个点时，我必须验证是否仍然可以绘制多边形而不相交。

我搜索了SO，发现只有this post对我没有帮助。

每次在画布上添加新点时，我都需要形成约束，并检查下一个点是否验证了这些约束。

我添加了一些关于我在下面尝试实现的目标的糟糕插图。使用以下方法定义坐标系可能会有所帮助：点1是原点(0,0)，x是正面的，y是正面的顶部。

添加第3点

前两个点只有1 != 2，添加点3的约束我必须确保它不会位于通过1的线上的任何位置}和2。

添加第4点

现在，添加了点3后，点4被屏蔽了，如下图所示：

黄色区域受到行1-2的约束，绿色区域受到行2-3的约束。 在非常难以理解的标记中（没有MathJax或其他任何内容）我认为4的约束是：

Y_4 < ( (Y_2 - Y_1) / (X_2 - X_1) )*X_4 + Y_1

Y_3 < ( (Y_2 - Y_1) / (X_2 - X_1) )*X_3 ? Y_4 > ( (Y_3 - Y_2) / (X_3 - X_2) )*X_4 + Y_2 : Y_4 < ( (Y_3 - Y_2) / (X_3 - X_2) )*X_4 + Y_2  

Y_4 =/= ( (Y_3 - Y_1) / (X_3 - X_1) )*X_4 + Y_1

添加第5点

现在在第5点添加约束区域为：

它开始变得复杂。

我想知道是否有针对这类事情的既定算法，或者是否存在顶点n方面的一般方程来生成约束方程。可能有几十个，甚至几百个点，所以通过蛮力和手工编码找出并不是一个选择。

Answer 1

你可以这样做：

1. 添加新点。
2. 在此点附近添加两条新边。
3. 通过迭代所有边对并检查它们是否相交来检查是否存在一对相交边。

每增加一个新点，此算法的时间复杂度为O(n^2)。如果太慢，可以使用以下观察使其成为线性：
如果在添加新点之前多边形有效，则没有边可以相交。这就是为什么不需要迭代所有边缘对的原因。因此，您只能对<new, any>对进行迭代，其中new是新创建的边，any是多边形的任意边。有2 * n = O(n)个这样的对（因为添加一个点只产生2个新边）。

此算法每点的时间复杂度为O(n)，因此它应足够快，可达数十或数百个点。

检查两条边是否相交很简单：边是一条线，检查两条线是否相交是一个众所周知的问题。

Answer 2

您想要实现的目标称为多边形简单性测试。您将在本文中找到相关信息：＆＃34;平面多边形的定向，简单和包含测试＆＃34;，F。FEITO，J。C. TORRES和A. URENA。