Question

根据爱因斯坦求和来编写求和的正确方法对我来说是一个难题，所以我想在我的代码中尝试它。我在少数情况下取得了成功，但主要是经过反复试验。

现在有一个我无法弄清楚的案例。首先，一个基本问题。对于分别为A和B的两个矩阵Nx1和1xN，AB为NxN但BA为{{} 1}}。当我想用1x1计算NxN案例时，我可以这样做：

np.einsum

，最后一个数组是import numpy as np a = np.asarray([[1,2]]) b = np.asarray([[2,3]]) print np.einsum('ij,ji->ij', a, b)。然而

2x2

返回a = np.asarray([[1,2]]) b = np.asarray([[2,3]]) print np.einsum('ij,ij->ij', a, b)数组。我不太明白为什么这不能给出正确的结果。例如，对于上述情况1x2指南说，箭头可用于强制求和或阻止它发生。但这对我来说似乎很模糊;在上面的例子中，我不理解numpy如何根据索引的顺序决定输出数组的最终大小（显然会发生变化）。

正式我知道以下内容：当箭头右侧没有任何内容时，可以用数学方式将求和写为$ \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {N} \ sum \ limits_ {j = 0 } ^ {M} A_ {ij} B_ {ij} $ 对于numpy，但是当有箭头时，我无法用正式的数学表达式来解释它。

Answer 1

In [22]: a
Out[22]: array([[1, 2]])
In [23]: b
Out[23]: array([[2, 3]])
In [24]: np.einsum('ij,ij->ij',a,b)
Out[24]: array([[2, 6]])
In [29]: a*b
Out[29]: array([[2, 6]])

这里所有部分中的索引的重复，包括输出，被解释为逐个元素的乘法。什么都没有总结。所有a[i,j]*b[i,j] = c[i,j]都是i,j。

In [25]: np.einsum('ij,ji->ij',a,b)
Out[25]: 
array([[2, 4],
       [3, 6]])
In [28]: np.dot(a.T,b).T
Out[28]: 
array([[2, 4],
       [3, 6]])
In [38]: np.outer(a,b)
Out[38]: 
array([[2, 3],
       [4, 6]])

再次没有求和，因为相同的索引出现在左侧和右侧。 a[i,j]*b[j,i] = c[i,j]，换句话说：

[[1*2, 2*2],
 [1*3, 2*3]]

实际上是一种外在产品。了解a如何针对b.T进行广播可能有所帮助：

In [69]: np.broadcast_arrays(a,b.T)
Out[69]: 
[array([[1, 2],
        [1, 2]]), 
 array([[2, 2],
        [3, 3]])]

在声明的左侧，重复的索引表示哪些维度相乘。匹配左侧和右侧确定它们是否相加。

np.einsum('ij,ji->j',a,b) # array([ 5, 10]) sum on i only
np.einsum('ij,ji->i',a,b) # array([ 5, 10]) sum on j only
np.einsum('ij,ji',a,b) # 15 sum on i and j

前段时间我制作了一个等同于einsum的纯Python，其中大部分都集中在它如何解析字符串上。目标是创建一个nditer，用它来计算产品总和。但即使在Python中，它也不是一个简单易懂的脚本：

https://github.com/hpaulj/numpy-einsum/blob/master/einsum_py.py

显示这些求和规则的更简单的序列：

In [53]: c=np.array([[1,2],[3,4]])
In [55]: np.einsum('ij',c)
Out[55]: 
array([[1, 2],
       [3, 4]])
In [56]: np.einsum('ij->i',c)
Out[56]: array([3, 7])
In [57]: np.einsum('ij->j',c)
Out[57]: array([4, 6])
In [58]: np.einsum('ij->',c)
Out[58]: 10

使用不具有1维度的数组可以消除广播复杂性：

In [71]: b2=np.arange(1,7).reshape(2,3)
In [72]: np.einsum('ij,ji',a2,b2)
...
ValueError: operands could not be broadcast together with remapped shapes [original->remapped]: (2,3)->(2,3) (2,3)->(3,2)

或者我应该说，它暴露了广播的尝试。

省略号为einsum解释增加了一定程度的复杂性。当我解决了...的使用中的错误时，我开发了上面提到的github代码。但我没有花太多精力来完善文档。

Ellipsis broadcasting in numpy.einsum

当您需要一个可以处理各种大小数组的表达式时，省略号非常有用。如果您的数组总是2D，那么它不会做任何额外的事情。

举例来说，考虑dot的概括，将A的最后一维与第B的第二维相乘。使用省略号，我们可以编写一个表达式，可以处理2d，3D和更大的数组：

np.einsum('...ij,...jk',np.ones((2,3)),np.ones((3,4)))  # (2,4)
np.einsum('...ij,...jk',np.ones((5,2,3)),np.ones((3,4)))  # (5,2,4)
np.einsum('...ij,...jk',np.ones((5,2,3)),np.ones((5,3,4))) # (5,2,4)
np.einsum('...ij,...jk',np.ones((5,2,3)),np.ones((7,5,3,4)))  # (7,5,2,4)
np.einsum('...ij,...jk->...ik',np.ones((5,2,3)),np.ones((7,5,3,4)) # (7, 5, 2, 4)

最后一个表达式使用默认的右侧索引...ik，省略号加上非求和索引。

您的原始示例可以写为

np.einsum('...j,j...->...j',a,b)

实际上它会填充i（或更多维度）以匹配数组的维度。

如果a或b为1d，也会有效：

np.einsum('...j,j...->...j',a,b[0,:])

np.dot推广到更大尺寸的方式是不同的

dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])

在einsum中表示为：

np.einsum('ijo,kom->ijkm',np.ones((2,3,4)),np.ones((3,4,2)))

可以用

进行推广

np.einsum('...o,kom->...km',np.ones((4,)),np.ones((3,4,2)))

或

np.einsum('ijo,...om->ij...m',np.ones((2,3,4)),np.ones((3,4,2)))

但我不认为我可以在einsum中完全复制它。也就是说，我无法告诉它填写A的索引，然后是B的不同索引。

`numpy.einsum`是如何工作的？

1 个答案: