Question

我正在尝试理解numpy.einsum（）函数，但来自stackoverflow的文档和this answer仍然给我留下了一些问题。

让我们考虑爱因斯坦和答案中定义的矩阵。

A = np.array([0, 1, 2])

B = np.array([[ 0,  1,  2,  3],
                  [ 4,  5,  6,  7],
                  [ 8,  9, 10, 11]])

np.einsum('i,ij->i', A, B)

所以，基于我对爱因斯坦和的理解，我会将这个函数翻译成等价的符号（A_i * B_ij），所以我会得到：

j = 1：A_1 * B_11 + A_2 * B_21 + A_3 * B_31

j = 2：A_1 * B_12 + A_2 * B_22 + A_3 * B_32

依此类推，直到j = 4.这给出了

j = 1：0 + 4 + 16

j = 2：0 + 5 + 18

根据我的理解，这将是爱因斯坦的总和。相反，该函数不执行总和，而是将单独的项存储在矩阵中，我们可以在其中发现（A_i * B_ij）的结果

0   0   0   0
4   5   6   7
16  18  20  22

这是如何实际控制的？我觉得这是由文档中提到的输出标签控制的：

可以通过将输出下标标签指定为来控制输出好。这指定了标签顺序，并允许求和在需要时被禁止或强迫

所以不知怎的，我假设把->i禁用内部总和的求和。但这是如何工作的呢？这对我来说并不清楚。放->j提供了预期的实际爱因斯坦和。

Answer 1

看来你对爱因斯坦求和的理解是不正确的。你写出的下标操作的乘法是正确的，但总和是在错误的轴上。

想想这意味着什么：np.einsum('i,ij->i', A, B)。

A的形状为(i,)，B的形状为(i, j)。
将B的每一列乘以A。
在B的第二个轴上求和，即在标有j的轴上求和。

这会给出形状(i,) == (3,)的输出，而下标符号会给出形状(j,) == (4,)的输出。你在错误的轴上进行求和。

更详细信息：

请记住，乘法总是先发生。左侧下标告诉np.einsum函数输入数组的哪些行/列/等要相互相乘。此步骤的输出始终与最高维输入数组具有相同的形状。即，在这一点上，一个假设的＆＃34;中间体＆＃34;数组的形状为(3, 4) == B.shape。

乘法后，有求和。这是由右侧的省略的下标控制的。在这种情况下，省略j，这意味着沿阵列的第一轴求和。（你在第0次总结。）

如果您改为编写：np.einsum('i,ij->ij', A, B)，则会有 no 求和，因为没有省略下标。因此，您可以获得在问题结束时获得的数组。

以下是几个例子：

例1：

没有省略下标，所以没有总结。只需将B的列乘以A即可。这是你写完的最后一个数组。

>>> (np.einsum('i,ij->ij', A, B) == (A[:, None] * B)).all()
True

例2：

与示例相同。将列相乘，然后对输出列进行求和。

>>> (np.einsum('i,ij->i', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=-1)).all()
True

例3：

您在上面写的总和。将列相乘，然后对输出的行求和。

>>> (np.einsum('i,ij->j', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=0)).all()
True

例4：

请注意，我们可以在末尾省略所有轴，以获得整个数组的总和。

>>> np.einsum('i,ij->', A, B)
98

Ex 5：

请注意，总和之所以发生，是因为我们重复了输入标签'i'。如果我们为输入数组的每个轴使用不同的标签，我们可以计算类似于Kronecker产品的东西：

>>> np.einsum('i,jk', A, B).shape
(3, 3, 4)

修改

爱因斯坦和的NumPy实现与传统定义略有不同。从技术上讲，爱因斯坦总和并没有“输出标签”的概念。重复的输入标签总是暗示这些。

来自文档："Whenever a label is repeated, it is summed."因此，传统上，我们会编写类似np.einsum('i,ij', A, B)的内容。这相当于np.einsum('i,ij->j', A, B)。重复i，因此将其相加，只留下标记为j的轴。您可以考虑将 no 输出标签指定为与仅指定输入中未重复的标签相同的总和。也就是说，标签'i,ij'与'i,ij->j'相同。

输出标签是在NumPy中实现的扩展或扩充，允许调用者强制求和或在轴上强制执行 no 求和。来自文档："The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired."

有关numpy.einsum（）

1 个答案: