Question

给定大小为n的数组A，我们需要找到j-i的最大值，使得对于所有k，i

我已经能够通过动态编程在O（n ^ 2）中解决它。有更好的解决方案吗？

Answer 1

这是一种新的，经过测试的线性时间解决方案。

下面的代码计算每个子代的最长子阵列的长度从a[:j + 1]到j {存储在0中的n - 1前缀k。该堆栈starts保存从s到0的索引j 从a[s] <= a[t]到t的所有s + 1 j，即那些索引可以在索引j或之后开始有效的子数组。堆栈 blockers保存从s到0的索引j，以便a[s] > a[t] 对于从t到s + 1的所有j，即最小的元素集需要通过最后一个元素排除所有无效的子数组最大化。 starts和blockers的维护需要摊销恒定时间，因为每个循环迭代最多附加一个元素。

以索引j结尾的有效子数组是从某些开始的有效子数组 starts中的索引大于除j之外的所有当前拦截器的索引本身。天真的，我们每次都可以向后扫描以找到最少的合适的起始指数，但我们可能会平均扫描太多。输入变量i，该变量最多将索引保存到starts 最近扫描。通过i + 1开始下一次扫描，我们确保了这一点扫描的摊余成本是恒定的，同时仍然扫描所有子阵列可能长于k。

import itertools


def longest(a):
    k = 0
    n = len(a)
    starts = []
    blockers = []
    for j in range(n):
        while starts and a[starts[-1]] > a[j]:
            del starts[-1]
        starts.append(j)
        while blockers and a[blockers[-1]] <= a[j]:
            del blockers[-1]
        if blockers:
            i = min(i + 1, len(starts) - 1)
            while i > 0 and starts[i - 1] > blockers[-1]:
                i -= 1
        else:
            i = 0
        k = max(k, j + 1 - starts[i])
        blockers.append(j)
    return k


def longest_slow(a):
    n = len(a)
    for k in range(n, 0, -1):
        for i in range(n - k + 1):
            b = a[i:i + k]
            if b[0] == min(b) and max(b) == b[-1]:
                return k
    return 0


def test():
    for n in range(9):
        for a in itertools.permutations(range(n)):
            assert longest(a) == longest_slow(a)


test()

Answer 2

对于每个号码，我们称之为X.从已处理的号码中找出大于X的最后一个号码。对于序列[3,7,5,2,1,3,2,4]，当您处理X = 4时，最大的最后一个数字是5，位置Y = 2（0索引）。

Y可以在O（log N）中找到，方法是维护一个段树/ fenwick树，该树响应范围最大查询，其中树的索引是序列中的值，树的值是序列中的索引。例如：当将值X添加到段树时，我们更新索引为X的段树的索引X. 为了找到Y，我们只需查询树的最大范围，其中索引＆gt; X

现在我们需要找到索引Y和X索引之间的最小数量的索引。这可以使用另一个处理原始序列上的范围最小查询的段树/稀疏表来完成。如果有多个最小数字，请计算索引最低的数字。让我们调用索引Z.这也需要O（log N）。

通过对序列中的每个数字进行这些处理，答案应该是（X的索引）-Z的最大值，从而产生O（N log N）的总体复杂度。

对于由nikhil_vyas提供的案件[-1000,1000,0,1,2,3,4]，当处理最后一个数字时，X = 4，Y将为1（值1000），Z应该在索引1和6之间，它是索引2.因此答案是（索引4）-2 = 6-2 = 4.（i = 2，j = 6）

编辑： Y将默认为＆＃39; index -1＆＃39;如果到目前为止没有大于X的数字。在这种情况下，Z可以存在于索引0之间直到当前处理的数字。如果Z不存在/不存在，请忽略序列中的这个数字，然后转到下一个。

具有最大和最小端点的最长连续子序列

2 个答案: