Question

我正在尝试为以下任务找到时间有效的算法

给定一组页面A，B，C，D，E，其中A，B，C，D可以是起始点但是E       永远是一个终点。以下表示页面之间的连接       （A，B），（A，B），（A，C），（A，E），（B，A），（B，C），（C，A），（C，E），（C ，D），（D，E），（D，A）。       现在，如果我选择A作为起点而E作为终点，那么我必须找到所有       A和E之间的可能路径，其路径长度在时间效率上最多为4       方式。因此，A和E之间的最大路径长度为4的所有可能路径都是

A-＆GT，E

A-＆GT; D-＆GT，E

A-＆GT; C-＆GT; D-＆GT，E

A-＆GT; B-＆GT; C-＆GT，E

A-＆GT; B-＆GT; C-＆GT，E

A-＆GT; B-＆GT; A-＆GT; e       还有更多

注1： 两个相同顶点之间的两条边被视为不同，顶点的顺序也很重要。 Graph中可以存在一个循环。

注2： 打破无限循环搜索的唯一方法是通过限制路径长度的最大限制。

Answer 1

这个问题可以通过动态编程来解决。

我们可以通过两个参数表示每个步骤，当前节点和已经采取的步骤数（节点，步骤）

伪代码：

int[][]dp;
int getNumberOfWay(int node, int step){
   if(step == 4)
      if(node == end node)
         return 1;
      return 0; 

   if(already visit this step)
      return dp[node][step];
   int result = 0;
   if(node == end node)
      result++; 
   for(node that has edges coming from this node)
      result += getNumberOfWay(next node, step + 1);
   return dp[node][step] = result;
}

时间复杂度为O（4 * E * N），E为边数，N为节点数。

注意：如果我们从末端节点而不是4个起始节点遍历图形，也可以改善问题。

Answer 2

可以使用矩阵乘法来解决。

我们说A[i][j]表示从i走到j的总路径，然后由于组合的乘法规则，我们有A'[i][j] = A[i][k] * A[k][j]。我们可以看到这个公式是矩阵乘法的形式。

因此，我们可以使用A行和列构建矩阵N，其中N是总页数。然后A[i][j]表示从j开始前往i的初始方式。例如，您问题的初始A将为：

  A B C D E
A 0 2 1 0 1
B 1 0 1 0 0
C 1 0 0 1 1
D 1 0 0 0 1
E 0 0 0 0 0

接下来，我们只需要计算A[0..3][4] + A^2[0..3][4] + A^3[0..3][4] + A^4[0..3][4]，其中A^k表示A代表k的力量。

使用矩阵乘法的好处是它可以扩展到更一般的问题：使用恰好K步骤可以形成从i到j的路径数量？。

在这种情况下，我们只需要计算A^k，可以使用exponentiation by squaring加速并在O(log k) * O(N^3)中求解，其中O(N^3)是矩阵乘法的复杂性

图算法计算不同起始顶点和一个末端顶点之间的所有可能路径

2 个答案: