是否存在一种算法，该算法在小于n ^ 3次迭代中找到n * n矩阵的乘积？

Question

我读到有一种算法可以计算n ^（2.3）复杂度矩阵的乘积，但无法找到算法。

Answer 1

已经发现了几种用于矩阵乘法的算法，其中大O小于n ^ 3。但这是基于大O符号得出结论的问题之一。当n变为无穷大时，它仅给出限制行为。在这种情况下，更有用的指标是总时间复杂度，包括系数和低阶项。

对于一般算法，时间复杂度可以是An ^ 3 + Bn ^ 2 + ...

对于Coppersmith-Winograd算法的情况，n ^ 2.375477项的系数非常大，以至于出于所有实际目的，具有O（n ^ 3）复杂度的通用算法更快。

如果Strassen Algorithm用于单个元素，也是如此。然而， 有一个paper声称使用混合算法使用Strassen算法将矩阵块降低到某个极限，然后切换到O（n ^ 3）算法对于大型矩阵来说更快。

因此，尽管存在具有较小时间复杂度的算法，但我所知道的唯一有用的是Strassen算法，并且仅适用于大型矩阵（无论大型方法）。

编辑：Wikipedia实际上有一个很好的矩阵乘法算法摘要。以下是来自同一链接的图，显示了不同算法与发现年份相比的欧米茄减少量。

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication#mediaviewer/File:Bound_on_matrix_multiplication_omega_over_time.svg

Answer 2

Strassen Algorithm能够将矩阵乘以小于O（n ^ 3）的渐近复杂度。

Answer 3

Coppersmith-Winograd算法计算O（n ^ {2.375477}）渐近时间内NxN矩阵的乘积。