在编码理论中，我遇到了一个问题：
从F（2，n）字段中选择两个随机字符串，即每个位只能取0和1，字符串长度为n位。
现在，我们想知道两个字符串之间不同位数的分布。 （即汉明距离）
实验表明它非常接近0.5，并且分布是正态分布。有没有办法证明这一点？
（简单的模型就像，我掷了两个硬币n次并计算差异的数量，例如0.49n;并且重复这个实验足够大的k次。这个差异在k上的分布是多少？）
答案 0 :(得分：0)
不同位的数量是自变量集合的总和（即指标变量，如果它们不同则为1，如果它们相同则为0），所有这些变量都具有有限的方差;因此，该数字的分布近似为高斯分布，随着n的增加而变得更高斯。
精确分布是二项式的，因为它是具有恒定概率的独立0/1变量的总和（指标变量都具有相同的概率，即指标= 1的1/2和指标= 0的1/2）
我在记忆中工作;如果不亲自验证，请不要接受这个答案。
答案 1 :(得分：0)
设X和Y是独立的随机变量，其值是从长度为n的二进制字符串集合中均匀绘制的：X，Y~U（{0,1} n ）。
设d（X，Y）为汉明距离。
然后d（X，Y）是从具有n个可能事件的Binomial distribution中抽取的随机变量，每个概率p = 0.5：d（X，Y）~B（n，0.5）。
预期为0.5×n。
其标准偏差为0.5×√n。
答案 2 :(得分：0)
如果以0或0的概率1/2独立绘制位，则位置k的一致性可以取决于第一个字符串的k th 位置的结果 - 无论是零还是一，第二个字符串的匹配概率为1/2。这使得p = 1/2的逐位分布Bernoulli。汉明距离是这些伯努利结果的总和，并且n个独立伯努利的总和具有binomial(n,p)分布 - 这是精确的结果。您的实验应该产生n / 2的平均值，并且np（1-p）或n / 4的方差。 Central Limit Theorem告诉我们二项式分布将收敛到正态分布，因为n - >无穷。一个工程经验法则是，当np> n时，近似将足够好。 10和n（1-p）> 10。