稳定婚姻算法证明

Question

我无法证明Gayle Shapley算法对于稳定婚姻问题的正确性证明所需的引理。

引理在算法中，每个男孩A只被A不可行的女孩拒绝。

书中的证据是归纳的。

  

我们通过归纳证明了引理。考虑一下任意一轮的Boston Pool算法   哪位医生α拒绝一家医院A为另一家医院B.拒绝意味着α更喜欢B到A.   在B的偏好列表中出现高于α的每个医生已经拒绝了B，因此，拒绝了B.   归纳假设对B来说是不可行的。   现在考虑将α指定为A的任意匹配。我们已经确定α优先选择B到A.   如果B优先于其伙伴α，则匹配不稳定。另一方面，如果B更喜欢它的伴侣α，   那么（通过我们之前的论证）它的伙伴是不可行的，而且匹配也是不稳定的。我们总结道   没有稳定的匹配将α分配给A。

这里的医院对应男孩（他们建议按优先顺序递减）和医生对女孩。

有人可以解释引理和证明。

Answer 1

说你（B）和你最好的朋友（A）向同一个女孩求婚（ alpha ）。她更喜欢你。如果你向她求婚，那就意味着没有比 alpha 更好的女孩（如果有更好的女孩，那么你会转而去找她）。你的梦想中的女孩比阿尔法更好，已经对你说不，所以他们没有。

现在。说上帝把 alpha 与你最好的朋友而不是你。如果你喜欢 alpha 给你现在的女孩，这种关系是不稳定的，因为你想要一个更好的女孩，你会去找她（ alpha ），因为她没有'你还是拒绝了。另一方面，如果你更喜欢别人来 alpha ，那么你就会陷入困境，因为在第一段我们说没有更好的。这意味着如果 alpha 对你最好的朋友说不，那么她对他没有好处。

Answer 2

我认为混淆是缺乏对不可行的含义的定义。婚姻算法做出了这些假设：

• 男孩愿意和任何女孩结婚（但按照他的偏好顺序向他们求婚）。
• 一个自由的女孩会接受任何提议，但如果她更喜欢她的男孩，她会抛弃她现在的未婚夫。

男孩α和女孩β之间的婚姻不可行如果：

1. 有一个不同的男孩α'，β优先于α，α'也比他现在的未婚夫更喜欢β。
2. 有一个不同的女孩β'，α偏爱β和β'也比她现在的未婚夫更喜欢α。

引理说明这不可能发生。

• 对于案例1，如果α'存在，他会早些向她求婚，因为她与其他人订婚，所以她一定拒绝了他。所以要么β真的更喜欢她现在的伴侣（拒绝α'），要么α'更喜欢他的伴侣（没有开始提议β）。
• 对于案例2，如果β'存在，他会早些向她求婚，因为他与其他人订婚，所以她必须抛弃他或拒绝他。要么意味着β'目前与她更喜欢α的人在一起。

在归纳步骤中应用上述逻辑可得出α和β与其命运伙伴的结论。