Question

我有一个抛物线y = a *（x-alpha）*（x-beta）其中a，alpha，beta是已知的令x1，y1为上述抛物线的初始点。我现在必须从初始点开始沿弧线覆盖距离D.目的是在覆盖所需的弧距后，在抛物线上获得最终位置。

一种方法是从抛物线的初始位置到终点进行检查，并检查积分是否等于所需的距离。但是这个算法需要很长时间才能完成，因为我需要多次这样做。

有更快的方法吗？

Answer 1

这是一个非线性方程：给出x1，y1和x2，y2。 x2和y2必须满足抛物线方程，它们必须满足沿曲线的arclength方程。 http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Arc_length

所以积分给你第二个等式。现在你有两个方程和两个未知数 - 查找matlab fsolve http://www.mathworks.se/help/optim/ug/fsolve.html

假设积分不能解析地解决（可以吗？）然后使用积分以数字方式解决它 - 应该仍然比强力搜索快得多......

如果您需要多次执行此操作，请确保先前的解决方案是作为下一个fsolve / integrate调用的初始猜测而提供的

Answer 2

我不知道你是用它做什么的。但是，无论如何，让我试着帮助你

嗯，这个问题并非如此难以解决。我的意思是，它只是一个简单的线积分1比抛物线。对你有好处，之前已经完成了。 http://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length#Length_of_an_arc_of_a_parabola

您需要做的就是找到对称轴，而不是硬，X =（alpha + beta）/ 2和焦距（有点棘手，但如果你谷歌我相信你会找到它）。我找到了你。 https://math.stackexchange.com/questions/574688/what-is-the-focal-width-of-a-parabola显示了抛物线的规范形式，因此您需要做的就是计算等式（http://www.math-prof.com/Alg2/Alg2_Ch_40.asp）

现在你需要解决的等式并不漂亮。把所有内容都放在p上，让MatLab为你解决（不应该永远）。

Answer 3

好的，通过积分本身不能获得抛物线上的线距。为方便起见，我用\ gamma替换了你的。

y = gamma(x-alpha)(x-beta) -> gamma*x^2 + (-gamma*alpha - gamma*beta)*x + alpha*beta*gamma

替换：

a = gamma
b = -gamma*alpha - gamma*beta
c = alpha*beta*gamma

所以可以写：

y = a*x^2 + b*x + c

根据这个公式（抛物线），焦点f由下式确定：

f = (1-D)/(4*a) - (-D)/(4*a)

其中

D = b ^ 2 - 4 * a * c

现在首先将p定义为从曲线上的位置到垂直对称轴x_p的垂直距离：

p = -b /（2 * a） - x_p;

由此可以计算出弧长：

h = p/2
q = sqrt(f^2+h^2)
s = h*q/f + f* ln (h*q/f)

其中s是曲线的对称表示。通过使用两个点s然后是这些点之间的距离来找到曲线的长度，所以：

Distance = s_1 - s_2 = (h_1*q_1/f + f * ln (h_1*q_1/f)) - (h_2*q_2/f + f * ln (h_2*q_2/f))

通过一些简化：

Distance = (h_1*q_1 - h_2*q_2)/f + f* ln (( h_1 + q_1) / (h_2 + q_2))

在MatLab中完全实现它现在取决于你。如果您遇到任何问题，请告诉我。

祝你好运，玩得开心！