我正在实施Kernelization Algorithms for the Vertex Cover Problem: Theory and Experiments (PDF)的优化算法。
我有点陷入第2.3章：线性编程的内核化。
这种技术（在ILP公式中）的想法是为输入图X_u \in \left\{ 0,1 \right\}的每个顶点u（也表示为v）分配权重G=\left\( V,E \right\)满足以下约束：
\Sigma_uX_u X_u + X_v \geq 1通过图表中的边缘连接，就会满足\left\{ u,v \right \}。因此，作为输出，我得到一组X_v为1的顶点，其余为X_v为0。
该文件称，放宽的基础是将X_u \in \left \{ 0,1 \right \}替换为X_u \geq 0。 （S. Khuller (PDF)指出在这种情况下X_u \in \left \{ 0,0.5,1 \right \}）。这种放松会导致有3组顶点，权重为1,0.5和0。
我的问题是我不太确定如何进行重量分配。
从我能够理解的情况来看，为了最小化权重之和（最好是每个边缘），首先关注具有最高度数的顶点，并且当它们的权重已经大于零时，添加值到分析边缘的第二端的顶点。
这导致我（正确？）到基本公式中每个顶点实际X_v \in \left \{ 0,1 \right \}的情况。当我想放松整数约束时，它只会改为X_v \in \left \{ 0,0.5 \right \}。
我的逻辑中有什么缺陷？
我需要如何处理松弛以获得具有权重1和0以及0.5？
的顶点答案 0 :(得分：1)
正如您所注意到的，约束X_v in {0, 1/2, 1}不适合作为（分数）线性程序。这里发生的是，如果您设置较弱的约束X_v >= 0，那么存在一些最优解，其中X_v in {0, 1/2, 1}适用于所有v，但通常不是每个最优解决方案有这个属性。您链接的论文的第6部分提出了一种算法，该算法可以找到顶点覆盖LP的最佳解决方案。