numpy.gradient做什么？

Question

所以我知道（数学）函数的梯度是什么，所以我觉得我应该知道numpy.gradient的作用。但我不是。 documentation也没有用处：

  

返回N维数组的渐变。

数组的渐变是多少？ numpy.gradient何时有用？

Answer 1

同样在文档 ¹ ：

>>> y = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16], dtype=np.float)
>>> j = np.gradient(y)
>>> j 
array([ 1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])

• 渐变定义为（y）/（x更改）。

• x，这里是索引，因此相邻值之间的差异为1.

• 在边界处，计算第一个差异。这意味着在数组的每一端，给出的梯度就是简单的，结束两个值之间的差异（除以1）

• 远离边界，特定指数的梯度是通过取两边的值除以2得到的。

因此，计算上面y的梯度：

j[0] = (y[1]-y[0])/1 = (2-1)/1  = 1
j[1] = (y[2]-y[0])/2 = (4-1)/2  = 1.5
j[2] = (y[3]-y[1])/2 = (7-2)/2  = 2.5
j[3] = (y[4]-y[2])/2 = (11-4)/2 = 3.5
j[4] = (y[5]-y[3])/2 = (16-7)/2 = 4.5
j[5] = (y[5]-y[4])/1 = (16-11)/1 = 5

例如，您可以在结果数组中找到所有绝对值的最小值，以找到曲线的转折点。

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¹ 在文档的示例中，数组实际上被称为x，我已将其更改为y以避免混淆。

Answer 2

这是怎么回事。泰勒级数展开式指导我们给出近似值时的近似导数。最简单的是来自C ^ 2函数（两个连续导数）的一阶泰勒级数展开...

• f（x + h）= f（x）+ f'（x）h + f''（xi）h ^ 2/2。

一个可以解决f'（x）...

• f'（x）= [f（x + h）-f（x）] / h + O（h）。

我们可以做得更好吗？确实是的。如果我们假设C ^ 3，那么泰勒展开式就是

• f（x + h）= f（x）+ f'（x）h + f''（x）h ^ 2/2 + f'''（xi）h ^ 3/6，和
• f（x-h）= f（x）-f'（x）h + f''（x）h ^ 2/2-f'''（xi）h ^ 3/6。

减去这些（h ^ 0和h ^ 2项都掉了！）并求解f'（x）：

• f'（x）= [f（x + h）-f（x-h）] /（2h）+ O（h ^ 2）。

因此，如果我们在等距离的分区上定义了离散函数： x = x_0，x_0 + h（= x_1），....，x_n = x_0 + h * n，那么numpy梯度将使用两端的一阶估计和中间的更好估计来生成“导数”数组。

示例1。如果未指定任何间隔，则假定间隔为1。因此，如果您致电

f = np.array([5, 7, 4, 8])

您所说的是f（0）= 5，f（1）= 7，f（2）= 4和f（3）=8。然后

np.gradient(f) 

将是：f'（0）=（7-5）/ 1 = 2，f'（1）=（4-5）/（2 * 1）= -0.5，f'（2）=（ 8-7）/（2 * 1）= 0.5，f'（3）=（8-4）/ 1 = 4。

示例2。如果指定单个间距，则该间距是均匀的，但不是1。

例如，如果您致电

np.gradient(f, 0.5)

这是说h = 0.5，而不是1，即函数实际上是f（0）= 5，f（0.5）= 7，f（1.0）= 4，f（1.5）= 8。效果是将h = 1替换为h = 0.5，所有结果将加倍。

示例3。假设离散函数f（x）没有在均匀间隔上定义，例如f（0）= 5，f（1）= 7，f（3）= 4，f（3.5）= 8，那么有一个numpy梯度函数使用的更离散离散微分函数，您将通过调用获得离散离散导数

np.gradient(f, np.array([0,1,3,3.5]))

最后，如果您输入的是2d数组，那么您正在考虑在网格上定义的x，y函数f。 numpy渐变将输出x和y中“离散”偏导数的数组。

Answer 3

  

使用内部和中部的中心差异计算梯度   边界的第一个差异。

和

  

默认距离为1

这个means在内部计算为

其中h = 1.0

并在边界

Answer 4

将N维数组视为矩阵。 然后梯度就是矩阵区分

要获得一个很好的解释，请查看matlab文档中的gradient描述。