Question

给定一堆整数，玩家轮流从堆栈顶部移除1,2或3个数字。假设对手以最佳方式进行游戏而你先选择，我想出了以下递归：

int score(int n) {
    if (n <= 0) return 0;

    if (n <= 3) {
        return sum(v[0..n-1]);
    }

    // maximize over picking 1, 2, or 3 + value after opponent picks optimally
    return max(v[n-1] + min(score(n-2), score(n-3), score(n-4)),
               v[n-1] + v[n-2] + min(score(n-3), score(n-4), score(n-5)),
               v[n-1] + v[n-2] + v[n-3] + min(score(n-4), score(n-5), score(n-6)));
}

基本上，在每个级别比较选择1,2或3的结果，然后你的对手选择1,2或3。

我想知道如何将其转换为DP解决方案，因为它显然是指数级的。我正在努力解决这样一个事实：它有三个维度：你的选择数，对手的选择数和子问题大小，即似乎table[p][o][n]的最佳解决方案需要要维护，p是您选择的值的数量，o是您的对手选择的数字，n是子问题的大小。

我真的需要3个尺寸吗？我已经看到了类似的问题：http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-31-optimal-strategy-for-a-game/，但似乎无法适应它。

Answer 1

以下问题可以转换为DP： -

score[i] = maximum{ sum[i] - score[i+1] , sum[i] - score[i+2] , sum[i] - score[i+3]  }

此处score[i] means max score generated from game [i to n]其中v[i] is top of stack。 sum[i] is sum of all elements on the stack from i onwards。可以使用 O（N）中的单独DP来评估sum[i]。可以使用 O（N）

中的表来解决上述DP

编辑： - 以下是JAVA中的DP解决方案： -

public class game {

    static boolean play_game(int[] stack) {
        if(stack.length<=3)
            return true;
        int[] score = new int[stack.length];
        int n = stack.length;
        score[n-1] = stack[n-1];
        score[n-2] = score[n-1]+stack[n-2];
        score[n-3] = score[n-2]+stack[n-3];
        int sum = score[n-3]; 
        for(int i=n-4;i>=0;i--) {
            sum = stack[i]+sum;
            int min = Math.min(Math.min(score[i+1],score[i+2]),score[i+3]);
            score[i] = sum-min;
        }
        if(sum-score[0]<score[0]) 
            return true;

        return false;
    }

    public static void main(String args[]) {
        int[] stack = {12,1,7,99,3};
        System.out.printf("I win => "+play_game(stack));
    }

修改： -

要获得DP解决方案，您需要根据自身的较小实例可视化问题解决方案。例如，在这种情况下，由于两个玩家都在最佳地玩，在第一个玩家做出选择之后，第二个玩家还获得剩余堆栈的最佳分数，其中第一个的子问题。这里唯一的问题是如何在重现中表示它。要解决DP，您必须首先根据子问题定义递归关系，子问题以任何计算方式排在当前问题之前。现在我们知道无论第二名球员获胜，第一名球员如此有效地输掉第一名球员获得第二名球员total sum - score。作为第二个玩家也能以最佳方式进行游戏，我们可以用递归方式表达解决方案。

将此递归解决方案转换为DP

1 个答案: