笛卡尔坐标中的双积分代替（R，Theta）

Question

  

我以前的question（Integral of Intensity function in python）

您可以在下面的图像中看到衍射模型：

我想计算每个像素（正方形）的强度积分，因此我不能使用R和Theta作为变量。如何在X-Y坐标中执行此操作。

我们的职能：

而不是sin（theta）我们可以使用：

sintheta= (np.sqrt((x)**2 + (y)**2)/(np.sqrt((x)**2 + (y)**2 + d**2)))

其他常数：

lamb=550*10**(-9)
k=2.0*np.pi/lamb
a=5.5*2.54*10**(-2)
d=2.8

当你绘制函数时，结果是这样的:(上面的图像是从顶部看的视图）

上一主题中的方法： 计算函数在（0.0，dist）和之后*（2 * np.pi x）的积分，其中x = k a * np.sin（theta），但现在我想要集成在每个像素中。以前的方法不起作用，因为这是X-Y坐标，而不是极坐标。

Answer 1

实际上，笛卡尔坐标系中的积分非常简单。现在你有了强度函数，你必须用坐标r和x来表示半径y。你在问题中实际做过的一件小事。

因此，要集成的函数（没有一些常量）是：

from scipy import special as sp

# Fraunhofer intensity function (spherical aperture)
def f(x,y):
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    return (sp.j1(r)/r)**2

或者使用2 J1（ x ）/ x = J0（ x ）+ J2（ x < / em>）[谢谢，Jaime！]：

def f(x,y):
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    return (sp.j0(r) + sp.jn(2,r))**2

这种形式在任何地方都没有单一性的意义上更好。

现在，我不使用任何常数因素。您可以根据需要添加它们，但我发现使用无限区域的积分结果进行标准化更容易。否则，很容易忘记一些常数（我通常会这样做）。

可以使用scipy.integrate.nquad进行整合。它接受多维功能进行整合。所以，在这种情况下：

import scipy.integrate

integral = scipy.integrate.nquad(f, ([-d/2, d/2], [-d/2, d/2]))[0]

但是，由于您的函数非常清晰对称，您可以考虑仅在一个象限上进行积分，然后乘以4：

4. * scipy.integrate.nquad(f, ([0, d/2], [0, d/2]))[0]

通过使用这些，完整的强度是：

>>> 4. * scipy.integrate.nquad(f, [[0,inf],[0,inf]])[0]
12.565472446489999

（看起来非常像4 pi，BTW。）当然，您也可以使用极坐标计算完整值，因为函数具有圆对称性（如Integral of Intensity function in python中所述）。不同的值是由于不同的缩放（极化积分中省略了2 pi，2因为我在这里使用了bessel函数的求和形式）。

例如，对于两个方向上-1..1的正方形区域，正方形区域上的归一化（除以上面的全功率值）功率为：

>>> 4*scipy.integrate.nquad(f, [[0,1],[0,1]])[0] / 12.565472446489999
0.27011854108867

因此，大约27％的入射光照射到方形光电探测器上。

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当谈到你的常数时，似乎缺少某些东西（至少是单位）。我猜：

• 波长：550nm
• 圆孔径：0.0055“= 0.14mm
• 从孔径到传感器的距离：2.8 mm
• 方形传感器尺寸5.4 um x 5.4 um

我刚从图像中猜到的最后一个。由于传感器尺寸远小于距离，sin（Θ）非常接近 y / d ，其中 d 是距离， y 从光轴位移。通过使用这些数字 x = ka sin（Θ）= kay / d ≈1.54。对于该数字，强度积分约为0.52（或52％）。

如果您将此与某些实验值进行比较，请记住有许多错误来源。图像平面上的图像是光圈的傅里叶变换。如果光圈边缘有小的缺陷，它们可能会改变产生的光斑。轻快的环很少像天文学家想的那么美丽......

只是为了好玩：