python中Intensity函数的积分

Question

有一个函数可以确定圆孔的夫琅和费衍射图的强度......（more information）

距离x = [ - 3.8317,3.8317]中函数的积分必须约为83.8％（如果假设I0为100），当你将距离增加到[-13.33,13.33]时，它应该是大约95％。 但是当我在python中使用积分时，答案是错误的......我不知道我的代码中出了什么问题：（

from scipy.integrate import quad
from scipy import special as sp
I0=100.0
dist=3.8317
I= quad(lambda x:( I0*((2*sp.j1(x)/x)**2))  , -dist, dist)[0]
print I

积分的结果不能大于100（I0），因为这是I0的衍射......我不知道......可能是缩放...可能是方法！ :(

Answer 1

问题似乎是函数的行为接近于零。如果绘制函数，它看起来很平滑：

然而，scipy.integrate.quad抱怨圆整错误，这对于这条美丽的曲线非常奇怪。但是，该函数未定义为0（当然，您除以零！），因此集成不顺利。

您可以使用更简单的集成方法或对您的功能执行某些操作。您也可以将它从两侧整合到非常接近零的位置。但是，使用这些数字时，在查看结果时，积分看起来不正确。

但是，我认为我对你的问题有所预感。据我所知，你所展示的积分实际上是夫琅和费衍射的强度（功率/面积）与距离中心的距离的函数。如果要将总功率积分在某个半径范围内，则必须以二维方式进行。

通过简单的区域集成规则，您应该在积分之前将函数乘以2 pi r（或者 x 而不是 r ）。然后它变成：

f = lambda(r): r*(sp.j1(r)/r)**2

或

f = lambda(r): sp.j1(r)**2/r

甚至更好：

f = lambda(r): r * (sp.j0(r) + sp.jn(2,r))

最后一种形式是最好的，因为它没有任何奇点。它基于Jaime对原始答案的评论（参见下面的评论这个答案！）。

（注意，我省略了几个常量。）现在你可以将它从零到无穷大（没有负半径）整合：

fullpower = quad(f, 1e-9, np.inf)[0]

然后你可以从其他半径进行积分并按照完整强度进行标准化：

pwr = quad(f, 1e-9, 3.8317)[0] / fullpower

你得到0.839（非常接近84％）。如果你尝试更远的半径（13.33）：

pwr = quad(f, 1e-9, 13.33)

得到0.954。

应该注意的是，我们通过从1e-9而不是0开始积分来引入小误差。可以通过尝试起始点的不同值来估计误差的大小。积分结果在1e-9和1e-12之间变化很小，所以它们似乎是安全的。当然，你可以使用例如1e-30，但是在分区中可能存在数值不稳定性。 （在这种情况下没有，但一般来说，奇点在数字上是邪恶的。）

让我们做一件事：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = linspace(0.01, 20, 1000)
intg = np.array([ quad(f, 1e-9, xx)[0] for xx in x])

plt.plot(x, intg/fullpower)
plt.grid('on')
plt.show()

这就是我们得到的：

至少看起来是正确的，艾里光盘的黑暗边缘清晰可见。

---

问题的最后部分：I0定义最大强度（单位可能是，例如W / m2），而积分给出总功率（如果强度是W / m2，则总功率是在W）。将最大强度设置为100并不能保证总功率。这就是计算总功率很重要的原因。

实际上存在一个封闭形式的方程式，用于辐射到圆形区域的总功率：

P（ x ）= P0 （1 - J0（ x ）^ 2 - J1（ x ）^ 2），

其中 P0 是总功率。

Answer 2

请注意，您还可以使用Sympy

获取用于集成的封闭表单解决方案

import sympy as sy

sy.init_printing()  # LaTeX like pretty printing in IPython

x,d = sy.symbols("x,d", real=True)

I0=100
dist=3.8317
f = I0*((2*sy.besselj(1,x)/x)**2)  # the integrand
F = f.integrate((x, -d, d))  # symbolic integration
print(F.evalf(subs={d:dist}))  # numeric evalution

F评估为：

1600*d*besselj(0, Abs(d))**2/3 + 1600*d*besselj(1, Abs(d))**2/3 - 800*besselj(1, Abs(d))**2/(3*d)

besselj(0,r)对应sp.j0(r)。

Answer 3

当在x = 0处执行jacobian时，它们可能是积分算法中的奇点。您可以将这些点排除在与＆＃34; points＆＃34;的集成之外：

f = lambda x:( I0*((2*sp.j1(x)/x)**2))
I = quad(f, -dist, dist, points = [0])

然后我得到以下结果（这是你想要的结果吗？）

331.4990321315221