Question

如何将状态monad S -> (A, S)与costate comonad (E->A, E)合并？

我尝试了两种明显的组合S -> ((E->A, E), S)和(E->S->(A, S), E)，但在任何一种情况下我都不知道如何定义操作（return，extract，...等等。）组合。

Answer 1

如果O或I被限制，即使用O方法，则合并两个monad I和extract会产生一个monad。每个comonad都是copointed。如果同时考虑O和I`，那么你有两种不同的“自然”方式来获得一个可能不等同的monad。

你有：

unit_O :: a -> O a
join_O :: O (O a) -> O a
unit_I :: a -> I a
join_I :: I (I a) -> I a

为了清楚起见，我添加了_O和_I后缀;在实际的Haskell代码中，它们不会存在，因为类型检查器会自行解决这个问题。

您的目标是证明O (I O (I a)))是monad。我们假设O被定位，即有一个函数extract_O :: O a -> a。

然后我们有：

unit :: a -> O (I a)
unit = unit_O . unit_I
join :: O (I (O (I a))) -> O (I a)

问题当然是在实施join。我们遵循这一策略：

fmap

O
使用extract_O来获取内部O
使用join_I合并两个I monad

这导致我们

join = fmap_O $ join_I . fmap_I extract

要使这项工作，您还需要定义

newtype MCompose O I a = MCompose O (I a)

并将相应的类型构造函数和解构函数添加到上面的定义中。

另一种选择使用extract_I代替extract_O。这个版本更简单：

join = join_O . fmap_O extract_I

这定义了一个新的monad。我假设你可以用同样的方式定义一个新的comonad，但我没有尝试过这个。

Answer 2

正如另一个答案所示，两个组合S -> ((E->A, E), S)和(E->S->(A, S), E) 同时拥有Monad和Comonad实例。事实上，给Monad / Comonad实例是相当于给一个幺半群结构。其点∀r.r-＆gt; f（r）或其 copoints ∀r.f（r） - ＆gt; r，至少在经典中，非建设性的意义（我不知道建设性的答案）。这个事实表明实际上是一个 Functor f很有可能无论是Monad还是Comonad，只要它的要点和关键点都是非平凡的。

然而，真正的问题是Monad / Comonad实例是否具有自然特征计算/分类意义。在这种特殊情况下，我会说＆＃34; no＆＃34;，因为你似乎没有先验有关如何以适合您的计算需求的方式撰写它们的知识。

组成两个（共）单子的标准分类方法是通过附件。让我总结一下你的情况：

      Fₑ         Fₛ
      -->       -->
Hask  ⊣   Hask  ⊣ Hask
      <--       <--
      Gₑ         Gₛ

Fₜ(a) = (a,t)
Gₜ(a) = (t->a)

FₜₜGPro的证明：

Fₜ(x) -> y   ≃
(x,t) -> y   ≃
x  -> (t->y) ≃
x  -> Gₜ(y)

现在你可以看到状态monad（s->（a，s））≃（s-> a，s-> s）是组合GₛFₛ和costate comonad 是FₑGₑ。该附录说Hask可以解释为（共）状态（共）代数的模型。

现在，＆＃39; adjunctions撰写。＆＃39;例如，

FₛFₑ(x) -> y ≃
Fₑ(x)   -> Gₛ(y) ≃
x       -> GₑGₛ(y)

所以FₛFₑₑGₑGₛ。这给出了一对monad和comonad，即

T(a) = GₑGₛFₛFₑ(a)
     = GₑGₛFₛ(a,e)
     = GₑGₛ(a,e,s)
     = Gₑ(s->(a,e,s))
     = e->s->(a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s)->(e,s))

G(a) = FₛFₑGₑGₛ(a)
     = FₛFₑGₑ(s->a)
     = FₛFₑ(e->s->a)
     = Fₛ(e->s->a,e)
     = (e->s->a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s))

T只是具有状态（e，s）的状态monad，G是具有costate（e，s）的costate comonad，所以这些确实有很自然的含义。

组合附件是一种自然的，频繁的数学运算。例如，几何态射 topoi（在类型级别上允许复杂（非自由）构造的类型的笛卡尔闭合类别被定义为一对附加，仅要求其左伴随左精确< / em>（即保留有限的限制）。如果那些topoi是拓扑空间上的滑轮，组成附录只是对应于组成（独特的）连续基础变化图（在相反的方向上），具有非常自然的意义。

另一方面，直接编写monads / comonads似乎是数学中非常罕见的练习。这是因为通常（共）单子被认为是（共）代数理论的载体，而不是模型。在此解释中，相应的附加是模型，而不是monad。问题构成两种理论需要另一种理论，一种关于如何构成它们的理论。例如，想象一下构成两种幺半群理论。那么你可能会得到至少两个新的理论，即列表列表理论，或两种二元运算分布的环状代数。先验比其他更好/更自然。这就是＆＃34; monads没有撰写＆＃34 ;;它并没有说组成不能成为monad，但它确实说你需要另一种理论来组成它们。

相比之下，组合附属物自然会导致另一个附属因素，因为你这样做了指明组成两个给定理论的规则。因此，通过采用组合附加的单子，你得到的理论也规定了构成规则。

将州monad与costate comonad相结合

2 个答案: