Question

以下问题与Recursive algebraic data types via polymorphism in Haskell有关。

递归代数数据类型可以使用通用参数多态在具有System F功能的任何语言中实现。例如，自然数的类型可以作为

引入（在Haskell中）

newtype Nat = Nat { runNat :: forall t. (t -> (t -> t) -> t) }

通常＆＃39;自然数n被实现为

\ x0 f -> f(f(...(f x0)...))

使用了n次f次迭代。

同样，布尔的类型可以作为

引入

newtype Bool = Bool { runBool :: forall t. t -> t -> t }

预期值＆＃39; true＆＃39;并且＆＃39; false＆＃39;被实现为

true = \ t f -> t
false = \ t f -> f

问：类型Bool或Nat的所有术语或上述形式的任何其他潜在递归代数数据类型（以这种方式编码），都可以减少一些操作语义规则？

示例1（自然数）：类似forall t. t -> (t -> t) -> t＆＃39;等同的任何术语＆＃39;在某种意义上，对于\ x0 f -> f (f ( ... (f x0) ... ))形式的术语？

示例2（布尔值）：类似forall t. t -> t -> t＆＃39;等同的任何术语＆＃39;在某种意义上，\ t f -> t或\ t f -> f？

附录（内部版本）：如果所考虑的语言甚至能够表达命题平等，这个元数学问题可以内化如下，如果有人愿意，我会很高兴想出一个解决方案：

对于任何仿函数m，我们可以在其上定义通用模块和一些解码编码功能，如下所示：

type ModStr m t = m t -> t
UnivMod m = UnivMod { univProp :: forall t. (ModStr m t) -> t }

classifyingMap :: forall m. forall t. (ModStr m t) -> (UnivMod m -> t)
classifyingMap f = \ x -> (univProp x) f

univModStr :: (Functor m) => ModStr m (UnivMod m)
univModStr = \ f -> UnivMod $ \ g -> g (fmap (classifyingMap g) f)

dec_enc :: (Functor m) => UnivMod m -> UnivMod m
dec_enc x = (univProp x) univModStr

问：如果语言能够表达：是否存在等同类型dec_enc = id？

Answer 1

如果我们忽略了底部和unsafe的东西，那么你可以用函数a -> a普遍做的就是组合它们。但是，这并不能完全阻止我们使用有限的f (f ( ... (f x0) ... ))表达式：我们也有无限的组合infty x f = f $ infty x f。

同样，唯一的非递归布尔值确实是\t _ -> t和\_ f -> f，但你也可以在这里打结，比如

blarg t f = blarg (blarg t f) (blarg f t)

Answer 2

在系统F（AKAλ2）中，∀α.α→α→α的所有居民确实λ等于K或K*。

首先，如果M : ∀α.α→α→α那么它具有正常形式N（因为系统F正常化）和主题缩减定理（参见Barendregt: Lambda calculi with types）也N : ∀α.α→α→α。

让我们来看看这些正常形式的外观。（我们将使用生成引理用于λ2，请参阅Barendregt的书以获取正式细节。）

如果N是普通表单，则N（或其任何子表达式）必须采用头部正常形式，即λx1 ... xn. y P1 ... Pk形式的表达式，其中{{1} }和/或n也可以是0。

对于k的情况，必须至少有一个λ，因为最初我们在输入上下文中没有任何变量绑定代替N。所以y和N = λx.U。

现在，x:α |- U:α→α的情况下必须至少有一个λ，因为如果U只是U，那么y P1 ... Pk会有一个函数类型（即使对于y k = 0我们需要y:α→α），但我们在上下文中只有x:α。所以N = λxy.V和x:α, y:α |- V:α。

但V不能是λ..，因为它有函数类型τ→σ。因此V必须只是z P1 ... Pk形式，但由于我们在上下文中没有任何函数类型变量，k必须为0，因此V可以仅限x或y。

因此，∀α.α→α→α类型的正常形式只有两个字词：λxy.x和λxy.y，此类型的所有其他字词都等于其中之一。

使用类似的推理，我们可以证明∀α.α→(α→α)→α的所有居民都与教会数字相等。（我认为对于类型∀α.(α→α)→α→α，情况稍微更糟;我们还需要η-相等，因为λf.f和λfx.fx对应1，但不是β -equal，只是βη-相等。）

多态编码的递归代数数据类型的值是什么？

2 个答案: