Question

我找到了以下用于计算nCr的代码，但不理解它背后的逻辑。为什么这段代码有效？

long long combi(int n,int k)
{
    long long ans=1;
    k=k>n-k?n-k:k;
    int j=1;
    for(;j<=k;j++,n--)
    {
        if(n%j==0)
        {
            ans*=n/j;
        }else
        if(ans%j==0)
        {
            ans=ans/j*n;
        }else
        {
            ans=(ans*n)/j;
        }
    }
    return ans;
}

Answer 1

这是一个聪明的代码！

一般来说，它的目的是计算以下公式：

ans = n! / (k!)(n-k)!

等于：

ans = n(n-1)(n-2) ... (n-k)...1 / k(k-1)...1 * (n-k)(n-k-1) ... 1

明显取消后：

ans = n(n-1)(n-2)..(n-k+1) / k!

现在请注意，提名者和分母具有相同数量的元素（k元素）

所以ans的计算方式如下：

ans  = 1 // initially
ans *= n/1
ans *= (n-1)/2
ans *= (n-2)/3
.
.
.
ans *=  (n-k+1)/k

再看一下代码，你会注意到：

ans在每次迭代时乘以n
n在每次迭代（n--）
ans在每次迭代时除以j

这正是发布代码所做的事情。现在让我们看一下循环中不同条件的含义，分母从n开始，分母从1到k，所以变量j被分配给分母吧？

1）if(n%j==0)

n/j

所以我们首先在这里计算它而不是乘以整个ans，这种做法将结果保持在最小的可能值。

2）else if(ans%j==0)

如果我们无法计算n/j，但实际上可以计算ans/j，那么每一步都是如此，这样可以说：

ans /= j; //first we divide
ans *= n; //then we multiply

这总是让我们的整体产量尽可能小，对吗？

3）last condition

在每一步，如果在这种情况下我们既不能计算n/j也不能计算ans/j，我们就没有幸运地先划分再乘以（因此保持结果很小）。但是我们需要继续进行 - 尽管我们只剩下一个选择

ans *= n; // multiply first
ans /= j; // then divide

ET VOILA！

示例考虑案例3C7 我们知道答案是7！/ 3！* 4！因此：ans = 7*6*5 / 1*2*3

让我们看看每次迭代会发生什么：

//1 ans = 1 //2 n = 7 j = 1 ans = ans * n/j first compute 7/1 = 7 then multiply to ans ans = 1*7 ans = 7 //3 n = 6 j = 2 ans = ans* n/j evaluate n/j = 6/2 (can be divided) n/j = 3 ans = ans *(n/j) = 7 * 3 = 21 // 4 n = 5 j = 3 ans = ans * n/j evaluate n/j = 5/3 oppsss!! (first if) evaluate ans/j = 21/3 = 7 YES (second if) ans = (ans/j)*n = 7*5 = 35 // end iterations

请注意，在最后一次迭代中，如果我们直接计算，我们会说：

ans = ans*n/j = 21 * 5 / 3 = 105 / 3 = 34

是的，它确实找到了正确的结果，但同时价值飞到105之后再回到35.现在想象一下计算真实的大数？？

<强>结论此代码仔细计算二项式系数，试图在每个计算步骤中保持输出尽可能小，它通过检查是否可以除（然后执行）来执行，因此它能够计算一些非常大的int直接编码无法处理（可能发生OverFlow）

Answer 2

要回答部分问题，请考虑n choose k的条目构成Pascal's triangle这一事实。由于Pascal的三角形是对称的，将参数k移动到左半部分就足够了，这是用

完成的。

k=k>n-k?n-k:k;

语句;看看C的条件运算符的定义。

此外，结果ans在开头初始化为包含1，这是Pascal三角形中每一行的第一个条目，这意味着最初ans实际上是n choose j {{1}}。

Answer 3

事实是1＆lt; = k＆lt; = n / 2的nCr与n / 2 + 1＆lt; = k＆lt; = n中的相同。因此，k的第一个变化使其值为左半部分的值。还有一件事nCk意味着（n *（n-1） ..... （nk））/（k *（k-1）* .... * 2 * 1）所以上面的代码迭代地应用它。

Answer 4

是肯定的。 [N选择K]减少了它的阶乘，因为除数和除数共享许多因子相互抵消x / x = 1（对于x> 0）诀窍是不计算大因子，因为这些大因子需要太多的地址空间（太多位）

第一个技巧是在分割之前减少分数。第二个技巧是在条件内做模数，为当前迭代选择3个操作之一。这可以不同的方式完成，并且整数模数被选择为快速运算符，跳过一些较慢的整数除法方法。

你迭代地遍历帕斯卡三角形。你走的每一条路都会成倍增加。

每个迭代步骤有3种可能的分支路径： 3个步骤中的每一个将累加器“ans”与不同的值相乘，表示帕斯卡三角形上2个“位置”之间的因子。你最终总是进行N次乘法，其中N是迭代次数，最后是二项式系数的值。

N是你想知道的帕斯卡三角形的列＃，你累加一个N，乘以某个东西，同时每次迭代减少帕斯卡三角形的列数（和行数）N = N-1

J = 1;

ANS = 0;

//在每次迭代中;

ans=ans*n;

n=n-1;

ans=ans/j;

j=n+1;

整数除法很慢，可以跳过（或者通过使除数变小来加快）至少一次，通常多次（因为在帕斯卡三角形中有很多共享的素因子），这是完成的通过模数条件。

帕斯卡三角形是非常对称的（在总结其域时），因此这是有效的。

帕斯卡三角形的（部分）列之和之间的差异显示了对称性，这对于乘法和除法非常重要。

只是观看一些关于帕斯卡三角形的对称性和身份的YouTube视频。

计算C中的二项式系数

4 个答案: