Question

我最近以节省时间和空间的方式看到了二项式系数的代码。

ll C(ll n,ll k)
{
    ll p=1;

    if(k>n-k)
    k=n-k;

    for(int i=0;i<k;i++)
    {
    p*=(n-i);
    p/=(i+1);
    }

return p;
}

让我们考虑以下三种不同的方法。

情况1：

for(int i=0;i<k;i++)
{
p*=(n-i);
p/=(i+1);
}

情况2：

for(int i=0;i<k;i++)
{
p*=(n-i)/(i+1);
}

情况3：

for(int i=0;i<k;i++)
p*=(n-i);

for(int i=0;i<k;i++)
p/=(n-i);

在情况1和情况3中答案都是正确的，在情况2中，答案是不同的。但是只有情况3才能给出正确的答案，而在这两种情况下，分数和分数都不会在乘法之后由于除法而被删除。

有人可以向我解释这个东西吗？

Answer 1

考虑案例1：

for(int i=0;i<k;i++)
{
  p*=(n-i); //statement 1
  p/=(i+1); //statement 2
}

在第一次迭代中，它将是整数除法，因为i为1。在第二次迭代中，在语句1中，p将是奇数和偶数（因为它们是连续的）的乘积，因此将在语句2中被2整除。

在第三次迭代中，在语句1中，p将是三个连续数字按降序排列的乘积，因此将在语句2中被3整除。

依此类推...

考虑案例2：
失败是因为整数除法首先在语句的rhs中执行

p*=(n-i)/(i+1);

这会导致截断，并且您已经正确地推测了这一点。

考虑案例3： 我相信您的代码应为：

for(int i=0;i<k;i++)
p*=(n-i);

for(int i=0;i<k;i++)
p/=(i+1);

在这里，我们看到的情况与情况1相似，但这很明显。您先以降序（最多k）然后之后的顺序将连续整数相乘将其除以整数乘积（最多k）。这是二项式系数的公式，可以给出正确的结果。

注意：由于案例3 在除法开始之前具有连续的乘法，所以可能会出现溢出。因此，案例1 是首选。

Answer 2

在处理整数算术时，评估顺序很重要。

稍微改一下您的案子，

1：先乘

p = (p * (n-i)) / (i+1)

和2：首先划分

p = p * ((n-i) / (i+1))

如果n-i小于i+1，则(n-i)/(i+1)为零。
因此，您的情况2将得出零，而情况1则不会。

例如，如果您有

 int x = 2;

然后x *= 3/4;导致x为0，但在x *= 3; x /= 4;之后为1。

您的情况3必须是错字，但也是“先乘”的情况。