如果变量在整数线性程序的范围内，有没有办法将决策变量设置为true？

Question

我有一个整数有界变量，称之为X。 （约0<=X<=100）

我想要一个二进制变量，称之为Y，Y=1 X >= A和X <= B，否则Y=0。

到目前为止，我提出的最好的是以下内容（其中T<x>引入了二进制变量，而M是一个大数字）

(minimize Y)
(X - A) <= M*Ta
(B - X) <= M*Tb
Y <= Ta
Y <= Tb
Y >= Ta + Tb - 1

（换句话说，引入两个二进制变量，如果变量分别满足范围的下限和上限，则为真，并将结果设置为这些变量的二进制乘法）

这...工作，有点，但有几个主要缺陷。特别是，它没有严格定义 - 即使Y超出范围，1也可以X。

所以：有更好的方法吗？特别是：有没有办法严格定义它，或者如果没有，至少可以防止误报？

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修改：澄清：A和B是变量，而不是参数。

Answer 1

我认为以下有用。

（I）A * Y <= X <= B * Y + 100 * (1 - Y)

（II）(X - A) <= M * Ta

（III）(B - X) <= M * Tb

（IV）Y >= Ta + Tb - 1

所以X < A使：

（I）Y=0

和（II），（III），（IV）无所谓。

X > B制作：

（I）Y = 0

和（II），（III），（IV）无所谓。

A <= X <= B制作：

（I）Y = 1或Y = 0

（II）Ta = 1

（III）Tb = 1

（IV）Y = 1

Answer 2

通过扩展二元变量与连续变量的乘法，以线性形式重写loannis的答案：

1. Tc <= M*Y
2. Tc <= A
3. Tc >= A - M*(1-Y)
4. Tc >= 0
5. Tc <= X
6. Td <= M*Y
7. Td <= B
8. Td >= B - M*(1-Y)
9. Td >= 0
10. X <= Td + 100*(1-Y)
11. (X - A + 1) <= M * Ta
12. (B - X + 1) <= M * Tb
13. Y >= Ta + Tb - 1

这似乎有效，尽管我还没有机会扩展它以证明它。此外，其中一些限制可能是不必要的;我没有检查过。

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我所做的扩展是根据以下规则：

如果b是二进制变量，c是连续变量，0 <= c <= M，则y=b*c等效于以下内容：

1. y <= M*b
2. y <= c
3. y >= c - M*(1 - b)
4. y >= 0