测试多边形是否非常简单

Question

我无法想出一种算法来检测弱的简单多边形（即允许两侧接触但不会交叉的多边形）。目前我只是检查每一方之间的交叉点 - 这是我呼吁所有非相邻方的功能。这样，只允许简单的多边形（根本不接触）。多边形是点的向量。

bool linesIntersect(const point &a1, const point &a2, const point &b1, const point &b2) {
    // Solve intersection of parametric lines using inverse matrix
    // The equation of the parametric lines are line1 = (a2 - a1)*s + a1
    // and line2 = (b2 - b1)*t + b1, where a1, a2, etc. are vectors.
    // Two equations can be produced from the two components, and these
    // this system of two equations can be solved for s and t
    // If the parameters s and t are between 0 and 1, it means that the lines intersect
    float x21 = a2.x - a1.x, x43 = b2.x - b1.x, x31 = b1.x - a1.x,
        y21 = a2.y - a1.y, y43 = b2.y - b1.y, y31 = b1.y - a1.y;
    float determinant = x43*y21 - x21*y43;
    if(determinant == 0.) return false;

    float s = float(x43*y31 - x31*y43)/determinant;
    float t = float(x21*y31 - x31*y21)/determinant; 

    if(s <= 1. && s >= 0. && t <= 1. && t >= 0.) return true; // lines intersect
    return false;
}

使用s < 1. && s > 0. && t < 1. && t > 0.不起作用，因为它接受一些复杂的多边形很简单。

this question中的第一个数字显示了几个例子。下面是程序将要处理的典型的弱简单多边形。

我更喜欢伪代码，因为前面提到的问题（1）中的数学术语让我感到害怕，而且我认为我不具备实现任何复杂算法的知识。我正在使用Boost.Polygon作为其他东西，如果那里有东西，但我找不到任何东西。

编辑：

以下是我如何使用该功能。 checkPts是一个vector<point>，从最后一个点到第一个点都有一个假设的边。

// Check for self-intersecting polygons
for(int i = 0; i < checkPts.size() - 2; ++i) {
    for(int j = i + 2; j < checkPts.size() - 2; ++j) {
        if(linesIntersect(checkPts[i], checkPts[i+1], checkPts[j], checkPts[j+1])) error("self-intersecting polygon");
    }
}

Answer 1

我不确定我是否明白，因为你似乎已经有了解决方案。只需在每对非相邻边上调用lineIntersects。

如果两条边没有公共点，则lineIntersects返回false，这是预期的。

如果两条边相互交叉，lineIntersects将返回true，因此，您知道多边形不是非常简单。

如果两条边接触，如图所示，则在linesIntersects中计算的行列式为0（即：线条是平行的）。 lineIntersects返回false。这是你想要的（你允许边缘接触）

当然，总是有一个棘手的部分，浮点运算导致舍入错误，但对我来说，函数中的数学是正确的。 （并且绝对应该对图片中的示例起作用）

编辑：更“数学”的方法。两条边有0个共同点，1个共同点，或无限多个共同点（它们“触摸”）。弱简单只意味着对于任何两对边缘，你不允许有“1点共同”的情况。因此，您需要一个能够确定何时只有1个共同点的函数。我的主张是lineIntersects已经做到了

编辑2：我忘了解释有一个共同点并不总是一个问题。但仅当两个边之间的公共点位于两个边之一的端点时。然后我们应该“允许”它（返回false）。但这不会改变我的答案，因为在lineIntersects中，我们计算的是s < 1. && s > 0. && t < 1. && t > 0.而不是s <= 1. && s >= 0. && t <= 1. && t >= 0.。所以我们已经“允许”这种情况了。