Question

问题：

定向和无向图的DFS复杂度是否不同？
如果是，则有向图复杂度为O（V + E），无向图复杂度为O（E）?,其中E为边，V为顶点？
如果是，那么以下是评论 - 有向图正确的O（V + E）复杂度的解释？

          /*
         * Although this piece looks like it is O(V * E), it is actually O(V + E)

         * This is because, for each node, we dont do dfs across the full tree.
         * ie 
         *    A -> C
         *    |
         *    V
         *    B
         * Here A has a directed edge to B and C.
         * This means that when 'Node' == A then 'dfs' code would cost O(E)
         * But when the 'node' == B then 'dfs' would cost O(1), since B does not have any outgoing edge
         * and when the 'node' == C then 'dfs' would cost O(1), since C does not have any outgoing edge   
         * This O(E + 1 + 1) = O(E)
         * And O(A + B + C) = O(V)
         * 
         */
         for (T node : graph) {
            if (dfs(graph, node, visitedNodes, completedNodes)) return true;
          }

Answer 1

简而言之，有向图和无向图的DFS复杂度应该相同。而且看起来你对复杂性的论证只适用于某个特定的图形，我在下面提供了一个更为一般的参数供你参考。

符号

给定图 G =（V，E），我们用 n = | V | 表示图的顶点数， m = | E | 图表的边数。 DFS算法递归地给出如下：

Mark all vertices as unexplored

DFS(graph G, start vertex s)
- Mark s as explored
- For every edge (s, v):
    - If v is unexplored
        - DFS(G, v)

图表上DFS的复杂性是什么？

它实际上取决于您用于实现图形的基础数据结构。

邻接矩阵是 n n 矩阵，其中 a _ij （即 i -th行的条目和 j -th）表示来自顶点数字 >我到顶点 j 。在这种情况下，DFS的复杂性是 O（n ²）。
邻接列表是每个顶点的 n 无序列表的集合，每个列表代表其顶点的邻居集。在这种情况下，DFS的复杂性是 O（n + m） （对于有向图和无向图）。

证明

首先考虑使用邻接列表来表示图形，其中顶点 v 的列表由指向相邻顶点的指针组成。设 m _v 表示与顶点 v 相邻的边数。因此，调用DFS(G, v)所需的工作量为1 + m _v （将 v 标记为已探查，然后循环在 m _v 边缘）。观察从任意顶点 s 开始，DFS算法在每个顶点最多上递归调用一次（当顶点未被探测时），因此所需的总工作量为< em>最多：

Σ_v∈V（1 + m _v）= | V | +Σ_v∈V m _v

在定向图中，我们有Σ_v∈V m _v = | E | ，而在无向图中，我们有Σ_v∈V m _v = 2 | E | （这是因为（u，v）和（v，u）被视为无向图中的相同边）。在这两种情况下，所需的总工作量为 O（| V | + | E |）= O（n + m）。

如果我们使用邻接矩阵来表示图形，则对于每个顶点，DFS算法也将以递归方式最多一次调用。但是，如果我们想在这种情况下遍历顶点 v 的所有传出边缘，我们必须遍历与对应的行上的所有条目邻接矩阵中的v 以查找所有非零条目，这总共需要 n = | V | 扫描。因此，在这种情况下，DFS所需的总工作量为 O（| V | ²）= O（n ²）。

验证定向和无向图的DFS复杂性

1 个答案:

符号

图表上DFS的复杂性是什么？

证明