Question

是否有任何python函数（可能来自numpy或scipy）计算x**r扩展中(1+x+x**2+x**3+...+x**(k-1))**n的系数，其中k>=1，n>=0和{{ 1}}？

有时称为多项式系数（PC）（例如，参见here）。

如果没有，你能想到一种有效的计算方法吗？（我对天真/贪婪的方式不感兴趣。）

Answer 1

您实际上正在进行n - [1,1,1，...，1,1,1]的折叠卷积。
因此，您是否考虑在足够零填充的阵列上使用FFT，将其元素提升到幂n并使用逆FFT来恢复所有系数

(1+x+x**2+x**3+...+x**(k-1))**n

然后只是阅读你感兴趣的那些？

<强>更新：

由于FFT是循环的，因此您需要一个不小于

中的项数的数组

(1+x+x**2+x**3+...+x**(k-1))**n

或换句话说，(k-1)*n+1以便结果不会在末尾包裹（或者至少在他们这样做时它们只向受影响的元素添加零）。通常它的长度也应该是2的幂，因为这是FFT算法所要求的（实现不要求它用零填充你的输入直到它）。

在类似C的伪代码中：

unsigned int m = 1;
while(m<(k-1)*n+1) m *= 2;

complex c[m];
for(unsigned int i=0;i!=k;++i) c[i] = complex(1.0, 0.0);
for(unsigned int i=k;i!=m;++i) c[i] = complex(0.0, 0.0);

c = fft(c);
for(unsigned int i=0;i!=m;++i) c[i] = pow(c[i], double(n));
c = inv_fft(c);

在此结束时，复数组r的{{1}}'元素的实部等于c的系数和零的虚部。 /> 现在，由于这都是以浮点形式完成的，因此您应该知道这些元素将累积舍入错误。您可以通过将它们四舍五入到最接近的整数来部分纠正这一点，但请注意，对于足够大的x**r和k，这些错误将超过0.5，因此这会产生因某些小的相对误差而导致的结果。 / p>

在网上进行的快速搜索显示，numpy分别具有FFT及其反向n和numpy.fft.rfft的实现，您可以在输入数据为真时使用。

用于计算“多项式系数”的numpy / scipy函数

1 个答案: