随机算法

Question

我在一个随机问题中遇到麻烦:)

例如一个随机算法A，想确定输入X是否为正数？

首次运行

  

    

      

1-如果x是素数 - >算法A回答“是”

             

2-如果x不是素数 - >算法A的概率为3/4，答案为NO。

    

  

我们应该运行多少次A（最小运行次数），如果我们想保证在第二状态（2）算法A答案NO的概率至少为1-（1 / k）？

注意：一个没有答案意味着输入X不是素数。

有什么想法吗？

Answer 1

如果数字x不是素数，则产生“是”的概率为“0”。在n重复的算法中(1/4)^n = 4^(-n) = 2^(-2n)。

所以，如果你想要实现1-(1/k)，你实际上是在寻找误判，概率最多为1/k，并且从上面我们想要：

2^(-2n) <= 1/k   //log_2 on both sides:
-2n <= log(1/k) = log(1)-log(k) = 0 - log(k)
2n >= log(k)
n >= log(k)/2

因此，您希望选择n这样的最小整数n >= log(k)/2，以保证 True Negative 的概率为1-1/k。

（注意：所有log()都有基数2）。

示例：
如果你想在99％的时间内保持正确，那么你实际上正在寻找1-1/k=0.99，所以1/k=1/100和k=100。

现在，根据上面的公式，请注意log_2(100) ~= 6.64，因此最小n，n >= log_2(100)/2是n==4。
意思是，你需要重复算法4次才能达到99％。

让我们检查一下是否正确：

1. 首先检查概率确实大于99％：1-(1/4)^4 = 1-(1/256) ~= 0.996 >= 0.99，所以概率很好。
2. 检查是否有一个较小的整数（n == 3），我们的正确答案会低于99％1-(1/4)^3 = 1-1/64 ~= 0.984 < 0.99 - 所以我们会因n==3而失败。