带加权边的最大分布

Question

想象一个图表，其中每个顶点都有一个值（例如，石头数量）并通过边连接，表示在石头中穿过该边缘的成本。我想找到最大可能数量的宝石，这样每个顶点Vn> =这个值。顶点可以将石头交换给其他人，但交换的值会被距离或连接它们的边缘的重量减去

我需要将其解决为贪婪算法和O（n）复杂度，其中n是顶点数量，但我在识别子问题/贪婪选择时遇到问题。我希望有人可以提供踩踏石头或一些提示如何实现这一点，非常感谢

Answer 1

问题摘要

我不确定我是否正确理解了这个问题，所以首先我要总结一下我的理解。

1. 我们有一个顶点为v1，v2，..，vn和加权边的图。让vi和vj之间的权重为W [i，j]

2. 每个顶点都以一些石头开头，让我们称顶点vi上的石头数量等于A [i]

3. 您希望执行多次转移以最大化min的值（A [i]为i = 1..n）

4. x stone可以在vi和vj之间传输，如果x> w [i，j]，此操作会将值转换为：

 A[i] -= x
 A[j] += x-W[i,j]  # Note fewer stones arrive than leave

这是对的吗？

响应

我认为这个问题是NP难的，因为它可以用来解决3-SAT，这是一个已知的NP完全问题。

对于带有M子句的3-sat示例，例如：

(A+B+!C).(B+C+D)

构造一个有向图，其中每个子句都有一个节点（没有宝石），每个变量的节点有3M + 1个宝石，每个变量有两个辅助节点，一个石头（一个代表具有正值的变量） ，一个代表具有负值的变量。

然后按如下所示连接节点：



当且仅当3-sat可溶时，此图将具有所有顶点具有值> = 1的解决方案。

关键是每个红色节点（例如变量A）只能向A = 1或A = 0发送石头，但不能同时发送两者。如果我们为绿色节点A = 1提供石块，那么这个节点可以为所有使用该变量的蓝色条款提供宝石。

（您的原始问题不涉及有向图，但我怀疑这个额外的更改会对问题的复杂性产生重大影响。）

摘要

我担心找到这个问题的O（n）解决方案会非常困难。