霍夫曼算法中的二进制前缀码

Question

在霍夫曼编码算法中，有一个引理说：

  

与最佳二进制前缀代码对应的二叉树已满

但我无法弄清楚原因。你怎么能证明这个引理？

Answer 1

数据的任何二进制代码都可以表示为二叉树。代码由从根到叶的路径表示，左边在前缀中表示0，右边表示1（反之亦然）。 请记住，对于每个符号，都有一个叶节点。

为了证明最佳代码将由完整的二叉树表示，让我们回想一下完整的二叉树是什么， 它是一棵树，每个节点都是叶子或有两个孩子。

假设某个代码是最优的并且由非完整树表示。 因此，存在一个只有一个子v的某个顶点.u和v之间的边将位x添加到以v为根的子树中的符号（在叶子处）的前缀代码中。 从这棵树我可以删除边x并用v替换u，从而减少以v为1的子树中所有符号的前缀代码的长度。这减少了至少一个符号表示中的位数（当v是单个节点时）。

这表明树实际上并没有代表最佳代码，而且我的前提是错误的。从而证明了引理。

Answer 2

来自wikipedia，

  

完整的二叉树（有时是2树或严格的二叉树）是一棵树，其中叶子以外的每个节点都有两个孩子。

生成霍夫曼代码树的方式肯定会产生完整的二叉树。因为在算法的每个步骤中，我们从队列中删除具有最高优先级（最低概率）的两个节点，并创建一个新的内部节点，将这两个节点作为子节点。