算法递归公式计算

Question

我有以下递归：

T(n) = T(2*n / 3) + T(n / 3) + O(n log n)

我需要知道确切的等式，我知道Master定理不会帮助我。

请告诉我如何进行此类递归。我需要复杂性并理解如何解决这些问题。

提前致谢。

Answer 1

您可以使用简化来获得上限。

<强> 1。方式：

T(n) = T(2/3 ⋅ n) + T(1/3 ⋅ n) + O(n log n)
     ≤ T(2/3 ⋅ n) + T(2/3 ⋅ n) + O(n log n)
     = 2 T(2/3 ⋅ n) + O(n log n)

现在你可以使用主定理。这应该给你O( n1.7095 )。由于我们有≤，我们确实有O而不是Θ。

<强> 2。方式：
你可以计算＆＃39;调用树中的节点，在您的情况下是二叉树。此树具有最大深度log3/2(n)，因此它具有少于2O(log n) = O(n)个节点。每个节点都有一个O(n log n)，因此总共得到O(n) ⋅ O(n log n) = O(n² log n)。

当然，这非常难以理解。如果我们将树分成两部分，我们可以做得更好：

1. 1/2 ⋅ log n：O(21/2 ⋅ log n ) = O( sqrt(n) )个节点深度以上的上半部分。 此节点的权重为O(n log n)。
2. 低于1/2 ⋅ log n：O(2log n - sqrt(n) ) = O(n)个节点深度的部分。 此节点的权重为O(sqrt(n) log n)

总得到：T(n) = O(sqrt(n)) ⋅ O(n log n) + O(n) ⋅ O(sqrt(n) log n) = O(n1.5 log n)。

我希望这会有所帮助。

编辑：O(n1.5 log n) ⊂ O(n1.7095)。

编辑：您可以将O(n1.5 log n)写为O(n⋅sqrt(n)⋅log n)。正如@Teepeemm所示，确切的复杂性为Θ(n log²(n))，通过将因子sqrt(n)替换为log(n)来改善我所显示的上限。

Answer 2

主定理的推广是Akra-Bazzi method。

假设你的O（n log n）实际上是Θ（n log n），我们有g（x）= x log x，a _i = 1 i = 1且i = 2，b ₁ = 2/3，b ₂ = 1/3。然后b ₁ ^p + b ₂ ^p = 1当p = 1，g（u）/ u < sup> p + 1 =（log u）/ u有积分（log²u）/ 2，T（x）是Θ（xlog²x）。