NDSolve在Mathematica的NDSolve里面

Question

我需要使用NDSolve，而NDSolve又将来自另一个ODE的解决方案用作另一个NDSolve的输出函数。

如果我使用NDSolve中第一个微分方程的精确解，那就没关系。但是当我以函数的形式使用相同的解决方案（使用InterpolatingFunction）时，它不起作用。

我相信，它与NDSolve输出的结构有关。有谁能请赐教我这个。会有很大的帮助！

代码是：

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feq = 2 V alpha fip F''[fi] - (V^2 - (V^2 + sigma - 2 fi) (F'[fi])^2 + (F'[fi])^4

Frange[lo_, hi_] := Module[{fii, sol}, sol = NDSolve[{(feq == 0 /.fi -> fii), F[0] == 0}, F, {fii, lo, hi}]]

eqpois = fi''[x] == ne[x] - F[fi[x]]/.sol

NDSolve[{eqpois, fi'[0] == 0, fi[0] == 0}, fi, {x,0,1}]

这里为了找到Fφ，我需要求解feq的第一个diff eq，它由函数Frange [lo，hi]内的NDSolve求解。然后在第二个方程eqpois中使用该解决方案，该方程必须再次使用NDSolve来解决。问题出现在第二个NDSolve中，它不会产生结果。如果我在eqopis中使用Fφ的解析解，那么就没有问题了。

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示例问题

我做了一点实验。我们来看一个耦合的ODE的例子

初始条件为1st eqn : dg/dx = 2f(g)

的

g(0) = 1

函数f(y)是来自另一个ODE的解决方案，比如说，

IC 2nd eqn : df/dy = 2y

f(0) = 0

第二个ODE的解是f(y) = y^2，当放入第一个ODE时变为

dg/dx = 2 g^2，最终解决方案为g(x) = 1/(1-2x)

问题：

当我使用DSolve时，它会正确找到答案

In[39]:= s = DSolve[{f'[y] == 2 y, f[0] == 0}, f, y]

Out[39]= {{f -> Function[{y}, y^2]}}

In[40]:= ss = DSolve[{g'[x] == 2 (f[g[x]]/.First@s), g[0] == 1}, g, x]

Out[40]= {{g -> Function[{y}, 1/(1 - 2 x)]}}

当我使用NDSolve

时会出现问题

In[41]:= s = NDSolve[{f'[y] == 2 y, f[0] == 0}, f, {y, 1, 5}]

Out[41]= {{f -> InterpolatingFunction[{{1., 5.}}, <>]}}

In[42]:= ss1 = NDSolve[{g'[x] == 2 (Evaluate[f[g[x]]/.First@s1]), g[0] == 1}, g, {x, 1, 2}]

Out[42]= {}

错误是：

在评估In [41]期间：= InterpolatingFunction :: dmval：输入值{2.01726}位于插值函数的数据范围之外。将使用外推法。 ＆GT;＆GT;

在评估In [41]期间：= InterpolatingFunction :: dmval：输入值{2.01726}位于插值函数的数据范围之外。将使用外推法。 ＆GT;＆GT;

在评估In [41]期间：= InterpolatingFunction :: dmval：输入值{2.04914}位于插值函数的数据范围之外。将使用外推法。 ＆GT;＆GT;

在评估In [41]期间：= General :: stop：在此计算过程中将抑制InterpolatingFunction :: dmval的进一步输出。 ＆GT;＆GT;

评估In [41]期间：= NDSolve :: ndsz：在y == 0.16666654771477857，步长实际为零;怀疑奇点或僵硬的系统。 ＆GT;＆GT;

评估In [41]期间：= NDSolve :: ndsz：在y == 0.16666654771477857，步长实际为零;怀疑奇点或僵硬的系统。 ＆GT;＆GT;

在这方面的任何帮助将受到高度赞赏！

--- Madhurjya

Answer 1

我有一个简单的例子，可以使用一个小模块。

 f0 = First@First@DSolve[{f'[y] == 2 y, f[0] == 0}, f, y]
 g0 = g /. 
     First@First@DSolve[{g'[x] == 2 (f[g[x]] /. f0), g[0] == 1}, g, x]
 fn = f /. First@First@NDSolve[{f'[y] == 2 y, f[0] == 0}, f, {y, 0, 10}]
 gn = g /. 
      First@First@
         NDSolve[{g'[x] == 2 (fn[g[x]]), g[0] == 1}, g, {x, 0, 9/20}]
 GraphicsRow[{
  Plot[{g0@x, gn@x}, {x, 0, 9/20}, 
       PlotStyle -> {{Thick, Black}, {Thin, Red, Dashed}}],
  Plot[{f@x /. f0, fn@x}, {x, 0, 2}, 
       PlotStyle -> {{Thick, Black}, {Thin, Red, Dashed}}]}]

请注意，我们需要确保第一个y中的NDSolve范围足以覆盖第二个g的预期范围。这就是所有这些插值范围误差的来源。