图表中的最佳路径以最大化值

Question

我试图为这个问题提出合理的算法：

我们说我们有很多地方。我们知道每对位置之间的距离。每个位置也有一个点。目标是在从起始位置到目的地位置旅行时最大化点数之和，而不超过给定的距离。

这是一个简单的例子： 起始位置：C，目的地：B，给定距离：45

解决方案：C-A-B路线9点

我只是好奇是否存在针对此类问题的某种动态算法。这个问题的最佳方法或最简单方法是什么？

非常感谢任何帮助。

修改：您不得多次访问同一位置。

Answer 1

编辑：根据新添加的限制，每个节点只能访问一次，问题绝对是NP-hard通过缩减到Hamilton路径：对于一般的无向，未加权的图，设置全部边权重为零，每个顶点权重为1.然后，如果原始图中存在汉密尔顿路径，则最大可达分数为 n 。

因此，研究integer linear programming求解器可能是一个好主意，例如那些并非专门构造为难的家族。

下面的解决方案假设可以多次访问一个顶点，并利用节点权重受常量限制的事实。

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设 p（x）为顶点 x 的点值， w（x，y）为边缘的距离权重{x，y}或 w（x，y）=∞如果 x 且 y 不相邻。

如果我们被允许多次访问一个顶点，如果我们可以假设 p（x）＆lt; = C 对于某些常量 C ，我们可能会离开具有以下重复：让 f（x，y，P）是我们在收集<时从 x 到 y 所需的最小距离em> P 点。我们有

  对于所有P      对于所有x

，

f（x，x，p（x））= 0      

f（x，y，P）= MIN（z，w（x，z）+ f（z，y，P - p（x）））

我们可以使用动态编程来计算 f 。现在我们只需要找到最大的 P ，这样

  

f（开始，结束，P）＆lt; =距离上限

此 P 是解决方案。

这种算法具有天真实现的复杂性是 O（n ^ 4 * C）。如果图形稀疏，我们可以通过使用 MIN 聚合的邻接列表来获得 O（n ^ 2 * m * C）。