algorithm - 最大化子图度中心性的算法

快速搜索将我带到this description of degree centrality。事实证明，＆＃34;度中心性＆＃34;顶点只是其度（邻居计数）。

不幸的是，您的问题是NP-hard，因此不太可能存在可以快速解决每个实例的任何算法。首先注意，假设边权重为正，任何最优解中的边必然形成树，因为在任何非树中，您可以删除至少1个边而不破坏连通性，这样做会减少子图的总边权重。（因此，作为一个积极的衍生：如果你计算输入图的最小生成树并发现它的总重量

让我们制定您问题的决定版本。给定图G =（V，E），边上带有正（I＆lt; ll假设）权重，数字X和数字Y，我们想知道：是否存在连通的子图G＆＃39; G的=（V＆＃39;，E＆＃39;）使得E＆＃39;中的边缘权重之和最多是X，和V的度数之和。（w.r.t. G）至少是Y？（显然，这并不比你原来的问题困难：如果你有一个算法来解决你的问题，那么你可以运行它，在它找到的子图中加上顶点的度数并将其与Y进行比较以回答＆＃34 ;我的问题。）

这里是从NP难Steiner Tree in Graphs问题中减少的问题，我们给出了一个图G =（V，E），边上有正权，是顶点的子集S，数字k，并且任务是确定是否可以使用具有最多k的总权重的边缘子集来连接S中的顶点。（如上所示，解决方案必然是树。）如果G中所有度数的总和为d，那么我们需要做的就是将G转换为您的问题的输入，如下所示：对于每个顶点s_i in我们添加了足够的新的＆＃34;镇流器＆＃34;每个顶点通过权重为X + 1的边连接到s_i，使s_i的程度达到d + 1。我们将X设置为k，并将Y设置为| S |（d + 1）。

现在假设Steiner Tree问题的解决方案是YES--也就是说，存在一个边缘的子集，其总权重＆lt; = k确实连接了S中的所有顶点。在这种情况下，它是＆＃39;很清楚，上面构造的问题实例中的同一个子图连接（可能包括）S中的所有顶点，并且由于S中的每个顶点具有度d + 1，所以总度至少为| S |（d +） 1），所以你的决定问题的答案也是肯定的。

在另一个方向，假设你的决策问题的答案是肯定的 - 也就是说，存在一个边缘的子集，其总权重<= X（= k）连接一组具有总度数的顶点至少| S |（d + 1）。我们需要证明这意味着原始Steiner Tree问题的答案是肯定的。显然，足以证明顶点集V＆＃39;满足上述条件的任何子图（即，边具有总权重＆lt; = k并且顶点具有总度＆gt; = | S |（d + 1））包含S（可能在其他顶点中）。所以让V＆＃39;是这种解决方案的顶点集合，并且假设在S中存在一些不在V＆＃39;中的顶点u。但是，我们可以做出的最大度数之和是在V＆＃39;中包含图中所有其他非镇流顶点，这将给出最多度（| S | -1）（d +） 1）+ d（第一项是S中其他顶点的度和;第二项是G中所有非S顶点的度和的上界;请注意，我们添加的没有一个压载顶点可能是在子图中，因为包含它们中任何一个的唯一方法是使用权重X + 1的边，我们显然不能这样做。但显然（| S | -1）（d + 1）+ d = | S |（d + 1）-1，严格地小于| S |（d + 1），这与我们的假设V＆＃39;相矛盾。学位总数至少为| S |（d + 1）。因此，S是V＆＃39;的子集，因此可以使用相同的边缘子集来连接S中的顶点，总重量最多为k，即Steiner树的答案问题也是肯定的。

对任何一个问题的答案都是肯定的，这意味着对另一个问题的答案是肯定的，这反过来意味着答案否定意味着对另一个答案没有答案。因此，如果有可能在多项式时间内解决问题的决策版本，则意味着图形问题中NP-hard Steiner树的多项式时间解决方案。这意味着您的问题的决策版本本身就是NP难的，优化版本也是如此（正如我上面所说的那样至少同样困难）。（决策表格也是NP-complete，因为在多项式时间内可以很容易地验证“是”答案。）

旁注：起初我认为我从NP-hard背包问题中得到了一个非常直接的减少：给定n个权重列表w_1，...，w_n和n个利润列表p_1，...，p_n，制作单个中心顶点c和n个其他顶点v_1，...，v_n。对于每个v_i，将其附加到具有权重w_i的边的c，并添加p_i其他叶顶点，每个顶点仅附加到具有权重X + 1的边的v_i。然而，这种减少实际上并不起作用，因为利润在输入大小n中可以是指数的，这意味着你构造的问题实例可能需要有一个指数的顶点，这是不允许的。多项式时间减少。

最大化子图度中心性的算法

1 个答案: