二进制序列子序列组合

Question

给定a1a2....a_{m+n} n + 1s和m -1s的序列，如果对于任何1=< i <=m+n，我们有 sum(ai) >=0，即，

a1 >= 0
a1+a2>=0
a1+a2+a3>=0
...
a1+a2+...+a_{m+n}>=0

那么满足要求的序列的数量是C(m+n,n) - C(m+n,n-1)，其中第一项是序列的总数，第二项是指那些子和＆lt; 0

我想知道双侧序列号是否有类似的公式：

a1 >= 0
a1+a2>=0
a1+a2+a3>=0
...
a1+a2+...+a_{m+n}>=0 
a_{m+n}>=0
a_{m+n-1}+a_{m+n}>=0
...
a1+a2+...+a_{m+n}>=0 

我觉得它可以与单侧子系统问题类似地得出，但数字C(m+n,n) - 2 * C(m+n,n-1)肯定是不正确的。有什么想法吗？

Answer 1

线索：第一种情况是从（0,0）到（n + m，n-m）点的多条路径（+ -1步），其中路径永远不会低于零线。 （与括号对的加泰罗尼亚数字一样，但没有平衡要求n = 2m）
期望的公式是许多（+ -1）路径，它们从不超过（n-m）线。可以获得递归公式。我希望它存在紧凑的公式。

如果我们考虑在nxm网格处的网格路径，其中水平步长为+1，垂直步长为-1，那么我们需要一些由平行四边形限制的路径（n-m）base