图形可以有许多不同的最小生成树（MST），但不同的MST可以有不同的边缘权重集吗？例如，如果MST使用边缘权重{2,3,4,5}，那么每个其他MST是否必须具有边缘权重{2,3,4,5}，或者某些其他MST是否可以使用不同的权重集合？
是什么给了我这个想法的属性，即只有当边的权重不同时，图才没有唯一的MST。
答案 0 :(得分：8)
套装必须具有相同的重量。这是一个简单的证明：假设他们没有。让T1和T2成为某些图G的MST，它们具有不同的多边距权重。
将这些边缘按重量的升序排序。由于两个权重的多重不同，请查看权重首先发散的位置。在T1或T2中最终会出现一些最小权重w *（假设WLOG，它在T1中），其中T1和T2具有相同数量的所有权重小于w *的边缘，但T1具有更多权重w的边缘*比T2。直观地，权重w *的边缘是T1“超前于T2”的地方。
现在，考虑T1中权重w *的边集;我们称他们为W *。考虑将任何这些边添加到T2时会发生什么。每次我们这样做，它将在T2中关闭一个周期。注意，新添加的边e不能是该周期的最大权重边;如果是，那么cycle property我们可以保证e不会出现在任何MST中，但我们知道它在一个（即T1）中。因此，循环必须有一些重量大于或等于w *的边缘。
如果其中一条边的权重严格大于w *，那么我们可以通过删除该边来降低T2的成本。但这是不可能的，因为我们知道T2是一个MST。
因此，我们知道循环中有一些其他边缘的权重等于w *。如果这些边缘中的任何一条不在T1中，则选择任何一条边并将其移除。请注意，我们刚刚在T2中交换了一条边，用于T1中的等权边。因为T1中的权重w *比T2中的边缘更多，我们不能永远这样做，最终我们将遇到周期关闭并且所有最大权重边缘都是重量w *的情况。来自T1。
那么在这种情况下会发生什么？好吧，想想当我们添加触发此问题的边缘时关闭的周期C.我们将展示在这种情况下，T1不能是MST，与我们最初的假设相矛盾，并给出了我们想要的结果。
设C *是C中边缘的集合，其成本小于w *。按重量顺序处理这些边缘，一次将它们添加到T1。每次我们这样做，我们都会关闭一个周期。该循环中的最大权重边缘不能是我们从T2添加的边缘（因为否则边缘不应该首先在T2中的循环属性）。因此，最大权重边缘要么具有大于T2边缘的权重（在这种情况下我们删除它，与T1是MST相矛盾）或者它具有相同的权重。最终，我们最终转换T1，使其具有与T2相同的成本小于w *的边缘。但这是一个问题，因为在那一点上我们知道我们会在T1中产生周期C，这意味着T1不是MST。这给了我们所需要的矛盾。
希望这有帮助！