查找加起来为特定数字倍数的数组子集数

Question

我有一个长度为N且负整数的数组A.我需要计算这个数组中的子集数量，它们加起来是数字M的倍数（或0（mod M））
例如：

设A = {1,2,8,4,5}，M = 9，
然后，有4个这样的子集：

• {}：空集，对应多个0，
• {1,8}：对应多个9，
• {4,5}：对应多个9
• {1,8,4,5}：对应于倍数18。

我想过生成所有可能的倍数，然后应用动态编程子集和，但约束不允许我这样做。

的约束：
1 =＆lt; N <= 10 ^ 5，
1 =＆lt; M <= 100，
-10 ^ 9 =＆lt;数组的每个条目＆lt; = 10 ^ 9

对于这类问题我应采取什么方法？

Answer 1

你可以通过动态编程解决这个问题，虽然对于大M是广泛的，对于小M是快的。对于满足0 <= j <= M-1的每个j，并且每个满足0 <0的整数k <1。 k <= N，令f（k，j）为1和k之间的数组元素的子集数，它们相加得到j mod M之和。然后将计数器f（k，j）扩展为f所有j＆＃39;（k + 1，j＆＃39;）你只需要在你的序列中取第（k + 1）个元素X并设置f（k + 1，j＆＃39;）= f（k，j＆＃39;）+ f（k，j＆＃39; - X mod M）。当你对每个k迭代满足0＆lt; = j＆lt; = M-1的所有j然后连续迭代满足0 <= k <= N的所有k时，你将得到你的答案f（N，0） ）。总复杂度为O（MN），对于小M，其在N中基本上是线性的，是最优的。